沟槽的组合变形

给定数 \(p,m\)，\(p\) 是质数，求

\[\sum_{i=0}^{p-1}\binom{2i}{i}m^i\bmod p \]

多测，\(T\le 10^4\)，\(1\le m<p\le 10^{14}\)。

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忽略 \(p=2\) 的情况，对 \(\displaystyle\binom{2n}{n}\) 变形：

\[\begin{aligned} \binom{2n}{n} &= 2^n\cdot\frac{1\times 3\times 5\times \cdots\times (2n-1)}{n!}\\ &\equiv(-2)^n\cdot\frac{\prod_{i=1}^{n}(p+1-2i)}{n!}\\ &\equiv(-4)^n\cdot\frac{\prod_{i=0}^{n-1}(\frac{p-1}{2}-i)}{n!}\\ &\equiv(-4)^n\cdot\binom{\frac{p-1}{2}}{n} \end{aligned} \]

原式即

\[\sum_{i=0}^{p-1}(-4m)^i\binom{\frac{p-1}{2}}{i} \]

二项式定理

\[(1-4m)^{\frac{p-1}{2}} \]

时间复杂度 \(O(T\log p)\)。

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#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 2000010
using namespace std;
ll read(){
	ll x=0,w=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*w;
}
ll p,m;
ll mul(ll x,ll y){
	return (__int128)x*y%p;
}
ll qpow(ll k,ll b){
	ll ret=1;
	while(b){
		if(b&1)ret=mul(ret,k);
		k=mul(k,k),b>>=1;
	}
	return ret;
}
void solve(){
	p=read(),m=read();
	if(p==2ll)return puts("1"),void();
	ll t=((1ll-4ll*m)%p+p)%p;
	printf("%lld\n",qpow(t,(p-1ll)/2));
}
int main(){
	int T=read();
	while(T--)solve();
	
	return 0;
}