CFgym104369J X Equals Y

X Equals Y

GDCPC2023.

今天 Coach VP 的时候没思考出来，想一想还是十分简单的。

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给出 $x,y,A,B$，构造一对 $(a,b)$ 满足 $2\le a\le A$，$2\le b\le B$，且 $x$ 在 $a$ 进制下与 $y$ 在 $b$ 进制下相同。

多测。$T\le {10}^3$，$1\le x,y\le {10}^9$，$2\le A,B\le {10}^9$.

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如果 $A\ge x$ 且 $B\ge y$，构造 $a=A$，$b=B$ 即可。

否则两个数的位数一定 $\ge 2$，此时不妨令 $A\leftarrow x-1$，$B\leftarrow y-1$.

根号分治。

对于 $a\in [2,min(\sqrt{x},A)]$，$b\in [2,min(\sqrt{y},B)]$，两个数的位数 $>2$.

枚举 $a$，可以二分出来 $b$ 的值，时间复杂度 $O(\sqrt{n}\log n)$.

再看 $a\in (\sqrt{x},A]$，$b\in (\sqrt{y},B]$ 的情况，两个数的位数为 $2$.

不妨令 $x\ge y$.

此时满足

$$\lfloor \frac{x}{a}\rfloor =\lfloor \frac{y}{b}\rfloor ,x-a\cdot \lfloor \frac{x}{a}\rfloor =y-b\cdot \lfloor \frac{y}{b}\rfloor$$

记向下整除式为 $t$.

$$x-at=y-bt⟹x-y=(a-b)t$$

枚举 $x-y$ 的因数 $t$，可以得到 $a$ 的范围和 $b$ 的范围，尝试构造 $a,b$ 即可.

$t$ 的个数是 $O(\sqrt{n})$ 的。故时间复杂度 $O(n)$.

总时间复杂度 $O(T\sqrt{n}\log n)$.

可能我比较唐。