一般图最大匹配

匈牙利算法寻找的增广路是有向的，其中匹配边的方向唯一，故匈牙利算法适配二分图的匹配。

对于存在奇环的一般图，匹配边在增广路中的方向不唯一，不符合匈牙利算法中 “一个点不能被访问两次” 的限制，故一般图最大匹配不能使用匈牙利算法。

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带花树算法

一般图与二分图区别在于奇环的有无，对于一个大小为 \(2k+1\) 的奇环，其最多只有 \(k\) 对匹配，所以有至少一个节点能向外匹配，它可以是奇环内的任意节点。

求最大匹配时，一个奇环和一个节点等价，可以将对奇环缩点后当成二分图继续匹配。

把奇环缩成的点称为花，对原图用 bfs 寻找增广路，这棵节点可能是花的 bfs 树称带花树。

在带花树上 bfs，对访问到的节点进行黑白染色。

若起点为黑点，那么黑 \(\rightarrow\) 白的边为非匹配边，白 \(\rightarrow\) 黑的边为匹配边。

遍历黑点的出边，若访问到的点未被染色且未被匹配，此时就找到一条增广路。如果被匹配了，将该点染白，将该点的匹配点染黑并加入队列。

若访问到白点，此时找到一个偶环，不需要处理。若访问到黑点就找到了奇环，在 bfs 树上这两个点的 \(lca\) 可以确定奇环的位置，用并查集将它们缩起来。缩起来的环为黑点，将环上的白点改为黑点并加入队列中，也叫做开花。

遍历增广路可以对每个点存一个前驱 \(pre\) 表示从该点出发走一条非匹配边应该到达哪个节点。被缩掉的环的非匹配边的 \(pre\) 是双向的。

求 \(lca\) 时，每次用 \(pre\) 和 \(match\) 轮流往上跳，边跳边打标记，碰上了就是 \(lca\).

相当于暴力跳，跳完后缩点使得每次总点数都减少，时间均摊 \(O(1)\).

同理开花的复杂度也是均摊 \(O(1)\) 的。

类似启发式合并，通过缩环减少一个点的复杂度均摊 \(O(\log n)\)，找到增广路的最劣复杂度为 \(O(n+m)\).

故用带花树算法求一般图最大匹配的复杂度为 \(O(n\times(n\log n+m))=O(n^2\log n+nm)\)，由于跑不满可以当作 \(O(nm)\).

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P6113 【模板】一般图最大匹配

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int read(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*w;
}
int n,m,ans;
vector<int>e[N];
int f[N],match[N];
int tag[N],tim,col[N],pre[N];
queue<int>q;
int find(int x){
	return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
int lca(int x,int y){
	tim++;
	while(true){
		if(x){
			x=find(x);
			if(tag[x]==tim)return x;
			tag[x]=tim,x=pre[match[x]];
		}
		swap(x,y);
	}
	return -1;
}
void blossom(int x,int y,int w){
	while(find(x)!=w){
		pre[x]=y,y=match[x];
		col[y]=1,q.push(y);
		if(find(x)==x)f[x]=w;
		if(find(y)==y)f[y]=w;
		x=pre[y];
	}
}
bool bfs(int s){
	if((ans+1)*2>n)return false;
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i,col[i]=pre[i]=0;
	while(!q.empty())q.pop();
	q.push(s),col[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int v:e[u]){
			if(find(u)==find(v)||col[v]==2)continue;
			if(!col[v]){
				col[v]=2,pre[v]=u;
				if(!match[v]){
					int x=v,y,z;
					while(x){
						y=pre[x],z=match[y];
						match[x]=y,match[y]=x;
						x=z;
					}
					return true;
				}
				col[match[v]]=1,q.push(match[v]);
			}
			else{
				int w=lca(u,v);
				blossom(u,v,w),blossom(v,u,w);
			}
		}
	}
	return false;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		u=read(),v=read();
		e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!match[i])ans+=bfs(i);
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d ",match[i]);
	printf("\n");
	
	return 0;
}