2023.8.23

我觉得 \(A\) 和 \(C\) 还是能做一点的。就是考场上太劣了去找 ABC 写了。

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A

在 \(n\times m\) 的矩阵中放一条长为 \(k\) 的蛇，其中一些位置有限制。蛇有顺序之分，问总方案数。

\(n,m\le 3000\)，\(k\le 6\).

\(Sol1\)：考虑对每个 \(k\) meet-in-middle 然后容斥。

基老师的代码循环展开后代码 11k，最大点 700ms.

\(Sol2\)：记录状态 \(f_{i,j,k}\).

\[f_{i,j,k}\leftarrow f_{i-1,j,k}+f_{i,j-1,k}-f_{i,j,k-2} \]

对于 \(k=5,6\) 时处理一下。

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B

给出一棵树，多次询问，给出 \(root,l_1,r_1,l_2,r_2\)，问以 \(root\) 为根时，对于所有 \(x\in[l_1,r_1],y\in[l_2,r_2]\)，\(\operatorname{lca}(x,y)\) 的异或和。

\(n,q\le 5\times 10^4\).

一个性质是

\[\operatorname{lca}(root,u)\operatorname{xor}\operatorname{lca}(root,v)\operatorname{xor}\operatorname{lca}(u,v)=\operatorname{lca}_{root}(u,v) \]

这样就能做了。发现每次询问一个矩阵。树分块，记块长为 \(B\).

把各整块和散块之间的贡献算出来，可以差分。

后面的听不懂了。

把 \(O(\frac{n^2}{B})\) 和 \(O(qB^2)\) 平衡，取 \(B=\sqrt[3]{n}\).

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C

多次询问

\[\sum_{L\le i\le j\le R}[\gcd(a_i\sim a_j)=D] \]

\(n\le 10^5\)，\(q\le 5\times 10^4\)，\(a_i\le 10^6\).

和前天的比赛题差不多，虽然我不会。

\(Sol1\)：对 \(D\) 相同的一起考虑。

需要支持区间改，前缀和，用两个 BIT。

\(Sol2\)：扫描线。

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D

给出一种将 \(a_{i,j}\) 划分为 \(x_{i,j}\times y_{i,j}\) 的方案，使得

\[\forall i\in[1,n],\prod_{j=1}^{n}\frac{x_{i,j}}{y_{i,j}}\cdot\frac{y_{j,i}}{x_{j,i}}=1 \]

或报告无解。

\(n\le 100\).

考虑每个质因子的贡献。

将一个 \(p\) 分配到 \(x\) 会使左边的式子的 \(p\) 处 \(+1\)，右者 \(-1\).

考虑给每条边定向，使得我们要的点入度等于出度。

跑一遍欧拉回路。