一些 trick / 奇怪的东西

高次整除分块

对 \(\large\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor\) 整除分块，\(\large r=\sqrt{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l^2}\rfloor}\rfloor}\).

容易发现对于 \(i\le n^{\frac{1}{3}}\) 和 \(i\ge n^{\frac{1}{3}}\)，都只有 \(n^\frac{1}{3}\) 种取值，所以复杂度 \(O(n^{\frac{1}{3}})\).

对于更高次也是同理的。

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\(\mu^2\) 的前缀和计算

详见 P9238 [蓝桥杯 2023 省 A] 翻转硬币.

对 \(i\) 进行唯一分解得 \(\displaystyle i=\prod p_i^{\alpha_i}\).

令 \(\displaystyle P=\prod p_i^{\lfloor\frac{\alpha_i}{2}\rfloor}\)，那么 \(\mu^2(i)=1\Leftrightarrow P=1\).

那么 \(\displaystyle\mu^2(i)=\epsilon(P)=\sum_{d|P}\mu(d)\).

可以得到 \(\displaystyle\mu^2(i)=\sum_{d^2|i}\mu(d)\).

\[\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)=\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\mu(i)\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor \]

利用高次整除分块，可以对 \(\mu\) 线性筛或杜教筛。

杜教筛预处理 \(n^{\frac{2}{5}}\) 的前缀和可以做到 \(O(n^{\frac{2}{6}})\).

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调和数求值

P1943 LocalMaxima

推出来的式子是第 \(n\) 个调和数 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\).

有一个性质：

\[\gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln n) \]

右式是收敛的，\(\gamma\) 称为欧拉常数，近似值 \(0.57721566490153285\).

对于较大的 \(n\) 精度还是不错的。

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差分前缀和优化函数求和

P9308 「DTOI-5」#1f1e33

已知函数 \(F\)，求函数 \(G\) 满足

\[G(n)=\sum_{d=1}^{n}dF(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

差分有

\[G(n)-G(n-1) \]

\[=\sum_{d=1}^{n}d\big(F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)-F(\lfloor\frac{n-1}{d}\rfloor)\big) \]

所以对于 \(d|n\) 才会对 \(\Delta G\) 产生贡献。

这样时间复杂度从 \(O(n\sqrt{n})\) 优化至 \(O(n\log n)\).

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完全平方数匹配

判断 \(a\times b\) 为完全平方数有一种简单的方法：

记 \(\displaystyle f(x)=\max_{d^2|x}d\)，\(\displaystyle g(x)=\frac{x}{f^2(x)}\).

\(f^2(x)\) 也可以叫做 \(x\) 的最大平方因子。

那么 \(a\times b\) 为完全平方数即 \(g(a)=g(b)\).

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带根号的整除分块

若 \(d^2k\in[l,r]\)，那么 \(\displaystyle d\in[\sqrt{\frac{l}{k}},\sqrt{\frac{r}{k}}]\).

考虑怎么找到 \(\displaystyle\lceil\sqrt{\frac{l}{k}}\rceil\) 和 \(\displaystyle\lfloor\sqrt{\frac{r}{k}}\rfloor\) 相同的一段数。

对于 \(i\)，找到最大的 \(j\) 应该是

\[\lfloor\min\Big(\frac{l-1}{(\lceil\sqrt{\frac{l}{i}}\rceil-1)^2},\frac{r}{\lfloor\sqrt{\frac{r}{i}}\rfloor^2}\Big)\rfloor \]

好奇怪的渲染。

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数字和字符串的转化

要用到一个叫 sstream 的头文件。

两种转化如下。

int main(){
	int a=114514;string s;
	stringstream t;
	t<<a,t>>s,t.clear();
	cout<<s<<endl;
	string _s="12.34";double _a;
	t<<_s,t>>_a,t.clear();
	printf("%.2lf\n",_a);
	
    return 0;
}

其实还有更多的功能。

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一个莫反用等式

• \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[i\perp j]ij=\sum_{i=1}^{n}i^2\varphi(i)\)

左式：\(\displaystyle =\sum_{p=1}^{n}p^2\mu(p)\cdot\Big(\frac{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor(\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+1)}{2}\Big)^2\)

右式：\(\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}i^2\sum_{j|i}\mu(j)\cdot \frac{i}{j}=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)d^2\cdot \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}i^3\)

容易发现这是正确的。