2023.5.18

T1

已知 \(a,b\) 为互素的正整数，求最大的 \(k\)，

\[ax+by=k \]

无非负整数解。

P3951 [NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑 / [蓝桥杯 2013 省] 买不到的数目

小丑，答案为 \(ab-a-b\).

去手推还是颇有意思的就是不会。

---

T2

有多少个长为 \(n\) 的字符串，包含至少 \(A\) 个小写字母，\(B\) 个大写字母，\(C\) 个数字。答案对 \(1e9+9\) 取模。

\(1\le n\le 2\times 10^5\).

没有倒霉蛋抄错模数？

一组 \((a,b,c)\) 的价值为 \(26^a\cdot26^b\cdot10^c\cdot\binom{a+b}{a}\cdot\binom{a+b+c}{a+b}\)

组合数是两个有序数列重排的方案数。

以 \(a+b\) 为计数主体：

\[\sum_{i=a+b}^{n-C}26^i\cdot10^{n-i}\cdot\binom{n}{i}\cdot\sum_{j=A}^{i-B}\binom{i}{j} \]

考虑递推后面的式子：

\[\sum_{j=A}^{i-B}\binom{i}{j} \]

\[=\sum_{j=A}^{i-B}\binom{i-1}{j-1}+\binom{i-1}{j} \]

\[=2\sum_{j=A}^{i-1-B}\binom{i-1}{j}+\binom{i-1}{A-1}+\binom{i-1}{i-B} \]

时间复杂度 \(O(n)\).

---

T3

带边权的树，边上为 \(\lbrack 0,9\rbrack\) 的数，问有多少 \((u,v)\)，将 \(u\rightarrow v\) 简单路径上的数字逐一写下，最终得到的数被 \(M\) 整除。

\(1\le n\le 10^5\)，\(1\le M\le 10^9\)，\(M\perp 10\).

一眼淀粉质。

设当前分治根为 \(rt\)，记 \(rt\rightarrow u\) 的值为 \(F(u)\)，\(u\rightarrow rt\) 的值为 \(G(u)\).

\((u,v)\) 合法即

\[G(u)\cdot 10^{dep_v}+F(v)\equiv0\mod M \]

左式与 \(u,v\) 有关，利用 \(M\perp 10\) 把它移到另一边：

\[G(u)\equiv \frac{-F(v)}{10^{dep_v}}\mod M \]

将 \(u\) 的左右式均插入 \(\text{map}\) 即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\).

---

\(100+56+100=256\).

卷哥好闪！拜谢卷哥！卷哥挂分！不信卷哥！