数学分析(3) 复习笔记

就不该开始的

回顾与展望

2.1 外测度与测度

• 外测度：空集为零；单调性；次可加性
• CY条件：$T\in \R^n, \mu^*(T)=\mu^*(T\cap E)+\mu^*(T\cap E^c)$
• CY定理：$\sigma-$代数；可数可加性；完备性
• Lebesgue测度，Lebesgue测度空间

2.2 Lebesgue测度的性质

• 定理（$\mathcal{L}-$可测集的特征）：内外正则性（开集外，闭集内）；内外逼近（紧集内，开集外）
• 定理（$\mathcal{L}-$测度的平移、伸缩性）

2.3 可测函数

• 广义实值可测函数
• 定理（简单函数的逼近）

2.4 可测函数的积分

• 定理（单调收敛）：单调递增非负可测函数列+收敛
• 定理（Fatou引理）：$f_n\longrightarrow f,\mu .a.e$ 于 $E\Rightarrow \underline \lim_{n\rightarrow \infty}\int f_nd\mu ≤\int fd\mu$
• 定理（控制收敛定理/LDC）：收敛+非负可测函数控制

2.5 $\R^n$ 上的Lebesgue积分的计算

2.5.1 $\R$ 上的Lebesgue积分的计算

• 定理（Lebesgue积分下的Newton-Leibnitz）$I$ 上绝对连续函数 $\Rightarrow$ $f$ 几乎处处可微；$f'\in \mathcal{L}^1(I)$；Newton-Leibnitz公式
  • 弱化：$f\in c[a,b]+f$ 在 $[a,b]$ 上可微 $+f'\in \mathcal{L}^1[a,b]\Rightarrow$Newton-Leibnitz公式

2.5.2 Fubini定理

• Fubini定理：
  • 形式1：$E\in \mathcal{M}_{p+q} \Rightarrow E_x\in \mathcal{M}_q,\ E_y\in \mathcal{M}_p$；$\int_{\R^p}m_q(E_x)dx=\int_{\R^q}m_p(E_y)dy=\int_{\R^{p+q}}1_E(x,y)dxdy$
  • 形式2：$X,Y$ 可测集，$f$ Lebesgue可积或非负可测 $\Rightarrow \int \int _{X×Y}f(x,y)dxdy=...$
• 命题：$X\in \mathcal{M}_q,\ Y\in \mathcal{M}_p$ ；$\forall x\in X, y\longrightarrow f(x,y)$ 是 $Y$ 上连续函数；$\forall y\in Y, x\longrightarrow f(x,y)$ 在 $X$ 上可测 $\Rightarrow f$ 是 $X×Y$ 上的可测函数。
• 定理*：$\varphi\ c^1$ 单射 + $E$ 可测集 + $f$ 非负可测/Lebesgue可积 $\Rightarrow$ 积分换元公式
  • 闭区域上：要求边界Lebesgue测度为0，闭区域每点可导，闭区域内部单射
  • $e.g.$ 球极变换
  • $e.g.$ 球面测度与球面积分
• 命题5：等径不等式

$Ch.10$ Hausdorff测度与曲线、曲面积分

$§0$ Vitali覆盖引理

• Vitali覆盖
• 定理1（Vitali覆盖定理）：直径上确界有限的闭球/闭方体集合族 $\subseteq$ 同心伸缩 $5\sqrt{n}$ 倍的可数闭球/闭方体族
  • Zorn引理：在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，则此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元
  • 定理2（Vitali覆盖定理变形）：定理1中，两边任意去掉有限个闭球/闭方体，包含关系仍成立
• 定理3（闭球填充一般集合）：$E\subseteq \R^n$，可以从E的Vitali覆盖中找至多可数个集合$\{B_k\}^{k_0}_{k=1}$ ，使得 $m^*(E/\{B_k\}^{k_0}_{k=1})=0$
• 定理4（开集由闭球填充）：$\Omega \subseteq \R^n$ 非空开集，$\forall \delta >0$，$\exist$ 闭球族 $\{B_k\}^{\infty}_{k=1}$ 满足 $①\forall k≥1, B_k\subseteq \Omega$ ；$②\{B_k\}^{\infty}_{k=1}$ 互不相交；$③diam(B_k)≤\delta$，$s.t.m^*(\Omega/\{B_k\}^{\infty}_{k=1})=0$

$§1$ Hausdorff测度

Hausdorff外测度

• $H^*_{k,\delta}(E),\ H^*_{k}(E)$
• 命题1：两者均是外测度；后者是度量外测度（隔离可加性）；前者≤后者
• 命题2（维数的作用）：低维测度有限的集合，高维测度必为零
• 命题3（$H^*_{k}$ 保持距离不等式）：$E\subseteq \R^n,\ |f(x)-f(y)|≤c|g(x)-g(y)|\Rightarrow H^*_{k}(f(E))≤c^kH^*_{k}(g(E))$
• 命题4（$H^*_{k}$ 的平移、伸缩、旋转性质）
• 命题5：同维度时，Hausdorff外测度等同于Lebesgue外测度
• 命题6（k维Hausdorff外测度计算）：$1≤k≤n,\forall E\subseteq \R^k,A\in \mathcal{M}_{n,k}(\R)$ 有 $H_k^*(A(E))=\sqrt{\det(A^TA)}m_k^*(E)$

Hausdorff测度及其性质

• H测度
• 命题*：n维 $H_n$ 可测集叉乘0拓展到m维也是 $H_m$ 可测，且测度值相等
• 定理7（$H_k$ 测度的性质）：
  • $H^*_k$ 的所有性质对于 $H_k$ 仍成立
  • $\mathcal{B}(\R^n)\subseteq \mathcal{H}_k$
  • （$H_k-$可测集结构）若 $H_k(E)<+\infty$，则为Borel集并零测集，或Borel集挖去零测集
• 命题8（$H_k$ 的平移、伸缩与旋转性）
• 定理9（$c^1$ 映射下可测集变换）
  • $c^1$ 映射把零测集映为零测集
  • $E$ 有有限可测集的可数分解，则 $c^1$ 映射把 $E$ 映到可测集
  • $c^1$ 映射把$m_k$可测集映到$H_k$可测集
  • $c^1$ 且处处满秩的映射下，原像是 $m_k$ 可测集 $\Leftrightarrow$ 像是 $H_k$ 可测集
  • 推论（k维Hausdorff测度计算公式）：$1≤k≤n,A\in \mathcal{M}_{n,k}(\R)$
    • $rank(A)<k\ (\det(A^TA)=0)\Rightarrow H_k(A(E))=0,\forall E\subseteq\R^k$
    • $rank(A)=k\ (\det(A^TA)>0)\Rightarrow H_k(A(E))=\sqrt{\det(A^TA)}m_k(E)$

$§2$ 光滑曲线的长度与曲面的面积

• k维光滑曲面，S的面积
• $J_{\varphi}(x)=\sqrt{\det((D\varphi)^T(D\varphi)(x))}$
• 引理1：$\lim_{x\in Q,\ diam(Q)\rightarrow0} \frac{H_k(\varphi(Q))}{m_k(Q)}=J_{\varphi}(x)$，其中 $D$ 开集，$\varphi\ c^1$ 单射，$Q\subseteq D$ 闭方体
• 定理2：$H_k(\varphi(E))=\int_E J(\varphi(x))dx$，其中 $D$ 开集，$\varphi\ c^1$ 单射

$§3$ Hausdorff测度的积分——曲线曲面积分

• 定理1（平移、伸缩、反射与旋转）
• 定理2+推论3（积分换元）：$\det(D\varphi(x))\longrightarrow J_{\varphi}(x)$
• 应用：
  • 光滑曲线的长度
  • 球极投影：$\varphi:\R^k \longrightarrow \mathbb{S}^k/\{-e_{k+1}\},\ t\mapsto(\frac{2t}{1+|t|^2},\frac{1-|t|^2}{1+|t|^2});\ J_{\varphi}(t)=(\frac{2}{1+|t|^2})^k$

$§4$ $\R^n$ 上的Riemann积分

• 分划，分划集 $P(E)$，模长，标志组点，标志组点集合 $\sigma [P]$
• Riemann和，Riemann积分，Riemann可积函数类 $\mathcal{R}(E;\mu)$

Riemann可积 $\Rightarrow$ 有界

• 命题1

通过振幅刻画Riemann可积

• 振幅，达布上和，达布下和
• 命题2：达布下和≤达布上和
• 命题3（Riemann可积的振福表示）：$f\in \mathcal{R}(E;\mu)\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon>0,\exist \delta>0,\forall |\sigma|<\delta$，有 $|\Sigma_{i=1}^Nw(f;E_i)\mu(E_i)|<\varepsilon$
• 命题4（振幅 $w(f;x)$ 的Lebesgue可积性）

  这条搞不动啊

• 定理（Riemann可积的Lebesgue准则）：$E\subseteq \R^n$ 有界可测，$f:E\rightarrow \R$ 有界，则 $f\in \mathcal{R}(E;\mu)\Leftrightarrow f$ 在 $E$ 上 $\mu-$几乎处处连续

相对内点，外点，边界点，Jordan可测集

• 相对内点，相对外点，边界点
• Jordan可测集
• 定理5（Riemann积分的基本性质）
  • $\mathcal{R}(E;\mu)\subset \mathcal{L}^1(E;\mu)$，且两者积分数值相同
  • 线性空间
  • $A\subseteq E$，则 $1_A\in \mathcal{R}(E;\mu)\Leftrightarrow A\in \mathcal{J}(E)$
  • 子集上的函数延拓到全集、全集上的函数限制在子集、有限集合上的函数拓展到并集（或反向），如果仍保持Riemann可积性质，需要 $A$（子集） $\in \mathcal{J}(E)$（全集）

Jordan可测集，Darboux积分与Riemann积分

• Riemann积分——重定义（分划中，$\forall 1≤j≤i，\mu(\partial E_j)=0$）
• 定理*：两种定义等价
• 加细
• 命题6：分划和加细分划的达布上和、达布下和不等式
• 命题9：若 $E\in \mathcal{J}(\R^n)$，则 $\int_E f(x)dx=A\Leftrightarrow A=\sup_{\sigma \in P^*(E)}\underline{S}(f;\sigma)=\inf_{\sigma \in P^*(E)}\overline{S}(f;\sigma)\Leftrightarrow \lim_{\sigma \in P^*(E),\ \xi \in \sigma[P]}S(f;\sigma,\xi)=A$，第一个等价符号是Darboux准则，第二个等价符号是Riemann积分的“网收敛”
• 数论中的应用：
  • 命题：$a \in \N,\ E\subset[-a,a]^d$ 紧集且 $m(\partial E)=0$，则如果 $f\in c(E,\R)$，有
    • $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^d}\Sigma_{j_1=-an+1}^{an}\Sigma_{j_2=-an+1}^{an}...\Sigma_{j_d=-an+1}^{an}1_E(\frac{\vec j}{n})f(\frac{\vec j}{n})=\int_E f(x)dx$
    • $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^d}\Sigma_{j_1=-an}^{an}\Sigma_{j_2=-an}^{an}...\Sigma_{j_d=-an}^{an}1_E(\frac{\vec j}{n})f(\frac{\vec j}{n})=\int_E f(x)dx$
    • 特别地，取 $f\equiv 1$ 时，$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^d}\Sigma_{j_1=-an}^{an}\Sigma_{j_2=-an}^{an}...\Sigma_{j_d=-an}^{an}1_E(\frac{\vec j}{n})=m(E)$

$§5$ 重积分的应用

Brouwer不动点定理

• Brouwer不动点定理：$\R^n$ 中的紧凸集上的连续函数必有不动点。

毛绒球定理（球面上非零的连续切向量场的存在性与不存在性）

• 切向量场，连续切向量场，非零连续切向量场
• 命题2：$\mathbb{S}^{n-1}\subset \Omega$（开集）$\subseteq\R^n,\ \vec v\in c^1(\mathbb{S}^{n-1},\R^n)$ 是 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上的单位切向量场，则 $n-1$ 必为奇数
• 命题3：若 $n-1$ 为偶数，则 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上没有非零的连续切向量场

Brouwer区域不变定理

• 定理4：$\Omega$（开集）$\subseteq\R^n,\ f:\Omega\rightarrow\R^n$ 为连续映射且局部一一，则 $f$ 是开映射
• 命题5（非零连续延拓定理）：$K,Z\subseteq \R^n$ 非空紧集，$m(Z)=0$，$f:K\rightarrow \R^n/\{0\}$连续，则$\exist F:K\cup Z\rightarrow\R^n/\{0\}$，使得 $F|_k=f$
• 命题6：$f:\overline{B(0;r)}\rightarrow\R^n$ 连续且满足 $(f(x),x)≥0,\forall x\in \partial B(0;r)$，则 $\exist \xi \in \overline{B(0;r)}$，使得 $f(\xi)=0$
• 命题7：$f:\overline{B(0;r)}\rightarrow\R^n$ 连续单射，则 $\exist \delta>0$，使得 $B(f(0);\delta)\subset f(\overline{B(0;r)})$，即 $f(0)$ 是 $f(\overline{B(0;r)})$ 的内点

$Ch.11$ 微分形式与第一型第二型曲线，曲面积分

$§0.2$ 流形的定义与性质

准备工作

• $\mathbb{H}^k$

$\R^n$ 中的（拓扑）流形/曲面

• 零维曲面/零维流形，k维曲面/k维流形（$1≤k≤n$），曲线
• $(S)^\circ$ 内部，$\partial S$ 边界，无边曲面/流形，带边曲面/流形
• 流形上区域不变定理：$S\subseteq\R^n$ k维流形，$D\subseteq\R^k$ 开集，$f:D\rightarrow S$ 连续单射，则
  • $f$ 是相对开映射
  • $f(D)$ 是一个k维流形
  • 若 $f$ 还满足 $f:\overline{D}\rightarrow\R^n$ 连续，则 $f(D)\cap f(\partial D)=\empty$
• 命题1（$\partial S$ 的刻画）：
  • $x_0 \in \partial S \Leftrightarrow \exist V_{x_0}\subseteq\R^n$ 开集以及同胚映射 $\varphi:\mathbb{H}^k\rightarrow V_{x_0}\cap S$ 使得 $\varphi^{-1}(x_0)\in \partial \mathbb{H}^k=\{0\}×\R^{k-1}$
  • $(S)^\circ$ 是 $S$ 的开集，$\partial S$ 是 $S$ 的闭集
  • 若 $S$ 是 $\R^n$ 的闭集/紧集，则 $\partial S$ 也是 $\R^n$ 的闭集/紧集
• 命题2：$\varphi:\mathbb{H}^k\rightarrow U$（k维曲面 $S$ 的一个开集）同胚，则 $\varphi$ 将内部映射到内部，且将边界映射到边界
• 命题3：$S\subseteq \R^n$ 是 k 维带边流形 $\Rightarrow\ \partial S$ 是 k-1 维无边流形

局部图与图册

• 局部图/局部坐标，参数域，有效域，图册 $\mathcal{A}(S)$
• 引理4（可数覆盖）：$\R^n$ 的开集族 $\{V_{\nu}\}_{\nu\in P}$ 覆盖了集合 $E\subseteq \R^n$，则存在可数集 $P_0\subseteq P$，使得 $\{V_{\nu}\}_{\nu\in P_0}$ 仍然可以覆盖 $E$。特别 $E$ 为紧集时，$P_0$ 可取为有限集
• 命题5（图册可数化）
• 命题6：$\R^n$ 中的曲面 $S\in \mathcal{B}(\R^n)$
• 命题7：k维流形可表示为可数个互不相交的道路连通k维流形的并

光滑曲面

• 命题8（延拓定理）：$\varphi \in c^r(\mathbb{H}^k;\R^n)$，则 $\exist\tilde{\varphi}\in c^r(\R^k;\R^n)$，使得 $\tilde{\varphi}|_{\mathbb{H}^k}=\varphi|_{\mathbb{H}^k}$，且 $\partial^\alpha\tilde{\varphi}|_{\mathbb{H}^k}=\partial^\alpha\varphi|_{\mathbb{H}^k},\ \forall|\alpha|≤r$
• 定理9：$1≤k≤n,r≥1,D\subseteq \R^k$ 开集，$\varphi \in c^r(D;\R^n)$ 在 $t_*\in D$ 处满秩，则 $\exist \varepsilon >0$，使得
  • $\varepsilon$ 附近的一个小方体上，$\varphi$ 满秩
  • 存在 $c^r$ 类同胚映射 $\Phi$，使得 $\varphi$ 限制在小方阵上与 $\Phi$ 限制在小方阵 $×\{0\}$ 上值相等
• 光滑图册，光滑k维曲面，$c^r$ 类k维曲面

光滑曲面的性质

• 命题10：$S\subseteq\R^n$ 是k维光滑曲面，则
  • $S$ 的内部是 $\R^k$ 经过同胚映射的集合和 $\mathbb{H}^k$ 经过同胚映射的集合的内部的并，$S$ 的边界是 $\mathbb{H}^k$ 经过同胚映射的集合的边界
  • 若 $\partial S\not ={0}$，则它是 k-1 维光滑无边曲面，且当 $k≥2$ 时，$\{(\R^{k-1},\tilde{\varphi}_j,\tilde{U}_j)\}_{j\in\tilde{\N}}$ 是 $\partial S$ 的一个光滑图册，其中 $\tilde{\varphi}_j(\cdot)=\varphi_j(0,\cdot),\tilde{U}_j=\varphi_j(\partial\mathbb{H}^k)$

光滑曲面的定向

• 转换映射
• 相容，定向图册，可定向，不可定向
• 基底/标架，有相同的定向/同向，有相反的定向/反向，定向标架类
• 命题11：可定向的道路连通光滑曲面上，任意通过局部图参数化的“标架”同向
  • 可以用作判别曲面的定向
• 定理12：道路连通的可定向曲面恰有两个不同的定向
• 命题13：可定向的带边光滑曲面的边仍可定向
• 命题14：k维光滑曲面的任一非空相对开集也是k维光滑曲面，而且若前者可定向，则后者可定向
• 例子：
  • 一维流形的分类与定向（四种）
  • 将“反向”的两个局部图调整为“同向”的两个局部图
  • 超曲面的定向：道路连通的光滑超曲面可定向，当且仅当其上存在连续单位法向量场
• 定向相反的图册
• 分片光滑的曲面