抽象代数 复习笔记

章节划分来自《抽象代数学》，参考《抽象代数学》以及zmx讲义。
一个人一台电脑一本书创造奇迹（bushi

2 群论

2.3 正规子群与商群

部分例题

1. 若N是G的子群，H是G的正规子群，则NH是G的子群。
   利用定义。

2. 交换群的任一子群都是正规子群，逆是否成立？
   不成立。反例是Hamiton四元数群，子群都是正规子群，但是非交换。

3. \(N \lhd G, H \lhd G, N \cap H = \{e\}\), 则 \(N\) 和 \(H\) 交换。
   考虑 \(N\) 中元素和 \(H\) 中元素的换位子。

4. 设 \(C\) 是群的中心且 \(G/C\) 是循环群，则 \(G\) 是交换群。
   利用定义。

5. \(H\) 是 \(G\) 的子群且 \([G:H]=p\)，若有 \(G\) 中不属于 \(H\) 的元素 \(g\) 使得 \(gH=Hg\)，则 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群。
   考虑 \(H\) 的正规化子 \(N_G(H)\)。

6. 非零复数乘法群没有指数有限的真子群。
   反证法，设指数为 \(n\) ，则对 \(\forall x \in\) 非零复数乘法群，$ x^n \in$ 子群。

2.4 同态与同构

概念&定理

• 同态，单同态，满同态，同构，自同态，自同构
• 平凡同态，恒等自同构，内自同构
• 像 \(Imf\) （子群），核 \(Kerf\) （正规子群）
• 同态基本定理：群同态 \(f:G_1 \rightarrow G_2\) 诱导同构 \(\overline{f}:G_1/Kerf \rightarrow Imf; \ \overline{f}(\overline{a})=f(a) \ \forall a \in G_1.\)
  • 推论：\(G_1/Kerf \cong Imf.\)
• 对应定理：群同态 \(f:G_1 \rightarrow G_2\) ，则
  • \(H_1 \leqslant G_1 \Rightarrow f(H_1) \leqslant G_2;\)
  • \(K \leqslant G_2 \Rightarrow f^{-1}(K) \leqslant G_1,\) 且 \(f^{-1}(K) \supseteq Kerf.\)
  • \(H\) 是 \(G_1\) 的正规子群当且仅当 \(f(H)\) 是 \(G_2\) 的正规子群，这时还有 \(G_1/H \cong G_2/f(H).\)
    • 看法：可以通过找核的方式找正规子群。在这个看法下，若 \(N \lhd G,\) 则 \(G\) 的含 \(N\) 的子群与 \(G/N\) 的子群构成一一对应。
• 命题：\(f\) 是单同态 \(\Leftrightarrow \ Kerf = \{e\}.\)
• 第一同构定理：\(H \lhd G,\ N \lhd G,\ H \subseteq N,\) 则 \(G/H╱N/H \cong G/N.\)
  • \(N \lhd H,\ N \leqslant H \leqslant G,\ 则 H \lhd G \Leftrightarrow H/N \lhd G/N.\)
• 第二同构定理：\(H \lhd G,\ K \leqslant G,\) 则 \(K \cap H \lhd K\) 且 \(KH/H \cong K/H \cap K.\)
• \(InnG \cong G/Z(G).\)

部分例题

1. \(G\) 非零复数乘法群，\(H\) 为形如 \(\begin{matrix} a&b\\ -b&a\\ \end{matrix}\) 的矩阵全体，其中 \(a, b\) 是不同时为零的实数，则 \(H\) 在矩阵乘法下构成一群，且与 \(G\) 同构。
   作映射：\(... \longrightarrow a+b\imath.\)

2. \(N\) 是 \(G\) 的极大正规子群的充要条件是 \(G/N\) 是单群。
   利用第一同构定理推论。

3. \(N\) 和 \(H\) 是 \(G\) 的两个不同的极大正规子群，则 \(H \cap N\) 是 \(H\)的极大正规子群。
   先证明 \(NH=G\) （利用“极大”和“不同”），然后利用第二同构定理。

4. 设 \(G\) 是有限群且 \(|G|>2\) ，且 \(\exist a\in G \ s.t.a^2\not ={e}\)，则 \(|AutG| >1\)。
   分类讨论：①G是交换群时，作同构\(x\longrightarrow x^{-1}\)；②G是非交换群的时候，找一个内自同构即可。

5. 若G是有限群且 \(|AutG| = 1\) ，则 \(|G| \leqslant 2\) 。
   假设 \(|G| >2\)。G只能是交换群，且由上题， \(\forall a \in G, a^2=e\)。取G中极生成元组 \(a_1,a_2,...,a_n\)，G中任意元可用它们的0,1次的乘积表示。可以作G的自同构，交换 \(a_1\) 和 \(a_2\) 的幂次，仍然有 \(|AutG| > 1\)，矛盾。

2.5 循环群

部分例题

1. 设G是交换群且 \(|G|=p\)，\(p\) 是素数，则 \(G\) 是循环群 \(\Leftrightarrow \ \forall H,K \leqslant G,\ H\subseteq K\) 或者 \(K\subseteq H\)。
   构造G的子群链 \(0 \leqslant K_1 \leqslant K_2 \leqslant ... \leqslant K_m \leqslant G\)，考察 \(G-K_m\) 中的元素 \(g\) 生成的群。

2.6 置换群

部分概念&定理

• Klein四元群：\(K=\{ (1),(,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3) \}\)
• 命题：\(A_n=<(1,2,3),(1,2,4),...,(1,2,n)>\)
  • 证明：\((1,i)(1,j)=(1,2,i)^2(1,2,j)\)
• 定理：若 \(n≥5\)，则 \(A_n\) 是单群。
  • 证明：设 \(K\lhd A_n\)，只要证明任何一个3循环 \((i,j,k) \in K\)。进一步，只要证明 \((1,2,3) \in K\)，再利用正规性即可。取 \(K\) 中除了 \(e\) 之外有最多不动点的元 \(\alpha\)，所谓不动点指元素 \(i \in K, i\alpha =i\)，下证明 \(\alpha\) 一定是一个3循环。
    若不是3循环，将 \(\alpha\) 写成不相交的循环之积，有可能有以下两种形式：\(\alpha =(1,2,3,...)...,\) 或 \(\alpha=(1,2)(3,4)...\)。
    第一种情况：由于 \(\alpha\) 是偶置换，则至少还要动两个点，不妨设动 \(4,5\) 。令 \(\beta =(3,4,5), \tau =\beta^{-1}\alpha \beta\)，则 \(\tau =(1,2,3,4,...)...,\ \tau \not ={\alpha}\)，因此 \(\sigma =\alpha^{-1} \tau \not ={e}.\)
    第二种情况：\(\tau =(1,2)(4,5)...\)，也有 \(\tau \not ={\alpha},\ \sigma =\alpha^{-1} \tau \not ={e}\)。
    对任一大于5的元素，它是 \(\beta\) 的不动点，因此若是 \(\alpha\) 的不动点，则必是 \(\sigma\) 的不动点。
    第一种情况：\(\alpha\) 至少动5个点，而2在 \(\sigma\) 下不动， \(\sigma\) 的不动点比 \(\alpha\) 多，矛盾！
    第二种情况：\(1,2\) 在 \(\sigma\) 下均不动，故 \(\sigma\) 的不动点也比 \(\alpha\)多，矛盾！
    综上，\(\alpha\) 必是3循环，定理得证。

部分例题

1. 若 \(n≥3\)，则 \(Z(S_n)=\{ e\}\)。
   用定义。

2. \([S_n,S_n]=A_n.\)
   令 \(\alpha =(1,2),\ \beta=(1,2,3)\)，则 \(\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{[-1}=(1,2,3) \Rightarrow (1,2,3)\in [S_n,S_n]. \Rightarrow A_n \subseteq [S_n,S_n]\)。另一方面，任何换位子都是偶置换。

3. \(A_4\) 没有六元子群。
   若有，则肯定有3循环，进一步计算得肯定有所有的3循环。

2.7 群对集合的作用

部分例题

1. \(p^2\) 群是Abel群。
   假设 \(G\) 不是Abel群，则 \(|Z(G)|=p\)。取 \(a\in G-Z(G)\)，则 \(Z(G) \lneq Z_G(a) \leqslant G\)，有 \(Z_G(a)=G\)，故 \(a \in Z(G)\)，矛盾！

2. 设 \(G\) 是一个有限群且有一个指数为 \(n\) 的子群 \(H\)，则 \(\exist K \lhd L,K \leqslant H\) 且 \([G:K]|n!\)。特别若 \(G\) 不能整除 \(n!\)，则 \(G\) 含有一个非平凡正规子群。
   想法：怎么着正规子群？通过同态核来找！\(n!\)是什么？构造置换群！
   考虑映射 \(\varphi\)，\(\varphi (g)\) 是把 \(\overline{H}\) 映射到 \(g\overline{H}\) 的映射，用同态基本定理。

3. 设 \(G\) 是 \(p\) 群且 \(|G|=p^n\)，则：
   （1）\(N\lhd G\) 且 \(N\not ={\{ e\}}\ \Rightarrow\ C\cap N\not ={\{e \}};\) (2)\(H\lneq G\Rightarrow H\subsetneq N(H).\)
   （1）利用类方程，考察 \(C\cap N\)。
   （2）对 \(Z(G)\) 是否包含在 \(H\) 中分类讨论。若不包含，显然成立；若包含，则考察 \(G/Z(G)\)，存在不在 \(\overline{H}\) 中的元 \(\overline{x}\) 使得 \(\overline{xHx^{-1}} = \overline{H}\)，由对应定理， \(xHx^{-1} = H\)。

2.8 Sylow定理

部分例题

1. 108阶群不是单群。
   由Sylow定理，\(n_3 = 1\ or\ 4\)。
   (1) \(n_3 = 1\)：有27阶正规子群。
   (2) \(n_3 = 4\)：取Sylow 3-子群 \(H\)，则 \(|H|=27,\ [G:H]=4\Rightarrow \exist N\leqslant H \leqslant G,\ N\lhd G\)，且 \([G:N]≤4!=24\)，讨论 \(|N|\)。

2. 56阶群不是单群。
   由Sylow定理，\(n_7 = 1\ or\ 8\)。
   (1) \(n_7 = 1\)：有7阶正规子群。
   (2) \(n_7 = 8\)：有8个Sylow 7-子群，7阶元共 \(6*8=48\) 个，\(56-48=8\)。但G有Sylow 2-子群，阶为 \(2^3=8\)，因此剩下8个元构成 \(G\) 的唯一Sylow 2-子群 \(\Rightarrow\) 有8阶正规子群。

3. \(11^2*13^2\) 阶群必是Abel群。
   由Sylow定理，\(n_{11} = n_{13} = 1\)。由2.7-1，\(11^2\) 阶子群 \(A\) 和 \(13^2\) 阶子群 \(B\) 都是Abel群。又 \(A\cap B=\{e\}\)，故 \(A,B\) 交换且 \(G=AB \Rightarrow G\) 是Abel群。

4. 231阶群的Sylow 11-子群含于G的中心内。
   由Sylow定理，\(n_7 = n_{11} = 1\)。设Sylow 11-子群为 \(A\)，Sylow 7-子群为 \(B\)。设 \(C\) 是 \(G\) 的Sylow 3-子群，则 \(|AC|=33\)，再用Sylow定理于 \(AC\) 可知 \(C\lhd AC\)，故 \(AC\) 交换。易知 \(AB\) 交换。这样必有 \(A\subseteq Z(G)\)。

5. 36阶群不是单群。
   \(G\) 的Sylow 3-子群 \(H\) 满足 \([G:H]=4\)，再利用结论。

6. 30阶群 \(G\) 的Sylow 3-子群和Sylow 5-子群都是正规子群，且 \(G\) 必含有一个15阶循环正规子群。
   15阶群是循环群：15阶群只有一个3阶正规子群和5阶正规子群，交为 \(\{e\}\)，是交换群，从而是循环群。
   30阶群G，若 \(n_3=10\)，15阶群只有一个Sylow 3-子群，故还有9个在15阶群外，矛盾！也不可能有6个Sylow 5-子群。

7. 72阶群不是单群。
   由Sylow定理，\(n_3 = 1\ or\ 4\)。
   (1) \(n_3 = 1\)：有9阶正规子群。
   (2) \(n_3 = 4\)：设 \(N\) 是某个Sylow 3-子群的正规化子，则 \([G:N]=4\)，再利用结论。

2.9 群的直积

部分例题

1. G 是 pq 阶循环群且 p, q 为互素的正整数，则 G 可分解为 p 阶循环子群和 q 阶循环子群的直积。
   利用 Bezout 定理。

2.10 有限生成 Abel 群

概念&定理

• 有限生成 Abel 群基本定理：有限生成加法群 G 可以分解成有限个循环群 \(C_i\) 的直和（要么都是无限循环群；要么是阶接连整除的有限循环群，并且其余是无限循环群）
• 秩（无限循环群的个数），不变因子组
• 有限生成的自由 Abel 群
• 定理：任意有限生成 Abel 群都是某个有限生成自由 Abel 群的同态像。
  • 引理：设 G 是有限 Abel 群且 \(|G|=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_r^{e_r}\)（素数互不相同），则 \(G=P_1\oplus P_2\oplus ... \oplus P_r\)（Sylow-p 子群）
  • 引理：阶为 \(p^e\) 的 Abel 群同构类集和 e 的分划集之间存在一个一一对应
  • 初等因子分解，不变因子分解

2.11 正规群列与可解群

概念&定理

• 正规群列：\(\{e\}=G_0\lhd G_1\lhd ... \lhd G_{r-1}\lhd G_r=G\)，商因子，极大正规子群
• 合成群列（必然有，但不一定唯一）
• Jordan-Holder 定理：有限群 G，\(\{e\}=G_0\lhd G_1\lhd ... \lhd G_{r-1}\lhd G_r=G，\{e\}=H_0\lhd H_1\lhd ... \lhd H_{s-1}\lhd H_s=G\)，则 r=s 且商因子之间存在一一对应
• 可解群，不可解群
• 命题：群 G 是可解群的充要条件是存在某个自然数 k，使 \(G^{(k)}=\{e\}\)
• 定理：可解群的子群与同态像仍是可解群。若 \(K\lhd G\) 且 K 及 G/K 均是可解群，则 G 也是可解群。
• 定理：当 n≥5 时，\(S_n\) 是不可解群。
• 定理：设 G 是有限群，则 G 可解 \(\Leftrightarrow\) G 有一个合成群列的商因子都是素数阶循环群

3 环论

3.1 基本概念

概念&定理

• 环（对加法和乘法封闭，加法群，结合律，分配律，恒等元 1）
  • 例：Hamilton 四元数环 \(H=\{a_0+a_1i+a_2j+a_3k\ |\ a_i\in\R\}\)
• 交换环，整环，除环

3.2 子环、理想与商环

概念&定理

• 子环
• 理想，商环，零理想，平凡理想
  • 理想的加法、乘法
• 定理：交换环 R 是域 \(\Leftrightarrow\) R 只有平凡理想

3.3 环的同态

概念&定理

• 同态基本定理

3.4 整环、分式域

概念&定理

• 周期元、周期
• 分式域

3.5 唯一分解环

概念&定理

• 整除，因子，真因子，相伴，不可约元
• 唯一分解环（UFD）/ Gauss 整区（非零非单位的元素可以唯一分解）
  • 因子链条件：不存在无限的真因子序列
    • 等价于 主理想升链条件
  • 素性条件：不可约元都是素元
  • 最大公因子条件：任意两个元素都有最大公因子
    • 和素性条件可互相代替

3.6 PID 与欧氏整区

概念&定理

• 主理想整区（PID）
• 欧氏整区，欧氏赋值
  • ED \(\Rightarrow\) PID \(\Rightarrow\) UFD

3.7 域上的一元多项式环

概念&定理

• 定理：F[x] 是 ED \(\Rightarrow\) PID \(\Rightarrow\) UFD
• 引理：I 是 R 的极大理想 \(\Leftrightarrow\) R/I 是域
  • 推论：F[x] 中 f(x) 不可约 \(\Leftrightarrow\) F[x] / (f(x)) 是域

3.8 交换环上的多项式环

概念&定理

• 引理：D 是整区 \(\Rightarrow\) D[x] 是整区
• Gauss 引理：本原多项式之积仍是本原多项式
• 引理：f(x) 在 R[x] 中不可约 \(\Rightarrow\) f(x) 在 F[x] 中不可约
• 定理：R 是 UFD \(\Rightarrow\) R[x] 是 UFD
• Eisenstein 判别法：\(p\) 不整除 \(a_n\)，\(p^2\) 不整除 \(a_0\)，\(p\) 整除 \(a_i(0≤i≤n-1)\)，则 f(x) 在 F[x] 中不可约

3.9 素理想

概念&定理

• 素理想
• 定理：P 是 R 的素理想 \(\Leftrightarrow\) R / P 是整区
  • 推论：极大理想是素理想
• 定理：真理想一定含在某个极大理想之中
  • 推论：极大理想存在

4 域与 Galois 理论

4.1 域的扩张

概念&定理

• F(S)：E 是 F 的扩域，S 是 E 的自己，则 F(S) 是由 F 及 S 生成的扩域
• 代数扩域 / 代数扩张，超越扩域 / 超越扩张
• 定理：[K:F] = [K:E] [E:F]
• 定理：E/F 域扩张，u \(\in\) E 是 F 上的代数元，极小多项式是 g(x)，则 [F(u):F] 有限且等于 deg g(x)。反之，若 [F(u):F]＜\(\infty\)，则 u 必是 F 上的代数元
  • 推论：有限扩张必是代数扩张

4.2 代数扩域

概念&定理

• 定理：E/F 域扩张，K 是 E 中所有 F 上代数元的全体组成的集，则 K 是 E 的子域
  • 推论：两个代数数的和、差、积、商都是代数数
• 定理：E/F 域扩张，则下列命题等价：
  • [E:F]＜\(\infty\)
  • 存在 E 中有限个代数元 \(u_1, u_2,..., u_n\) 使 \(E=F(u_1, u_2,..., u_n)\)，此时，E 必是 F 的代数扩域
• 定理：代数扩张有传递性
• 代数闭包，代数闭域
• 定理：下列命题等价：
  • K 是代数闭域
  • K[x] 中任一不可约多项式的次数等于1
  • K[x] 中任一次数大于零的多项式可分解为一次因子的成绩
  • K[x] 中任一次数大于零的多项式都在 K 中至少有一个根

4.4 分裂域

概念&定理

• 引理：设 f(x) 是 F 上的多项式且不可约，则必存在 F 的扩域 E，使 f(x) 在 E 中至少有一个根
  • 用到：F[x] / (f(x)) 是域
• Kronecker 定理：f(x) 是域 F 上次数不小于 1 的多项式，则必存在 F 的扩域 E，使 f(x) 在 E 中至少有一个根
• 分裂域
• 定理（分裂域存在）：F[x] 中任一非零首一多项式均有分裂域

后面的定理没看懂，摆烂！