抽象代数 复习笔记

章节划分来自《抽象代数学》，参考《抽象代数学》以及zmx讲义。
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2 群论

2.3 正规子群与商群

部分例题

1. 若N是G的子群，H是G的正规子群，则NH是G的子群。
   利用定义。

2. 交换群的任一子群都是正规子群，逆是否成立？
   不成立。反例是Hamiton四元数群，子群都是正规子群，但是非交换。

3. $N \lhd G, H \lhd G, N \cap H = \{e\}$, 则 $N$ 和 $H$ 交换。
   考虑 $N$ 中元素和 $H$ 中元素的换位子。

4. 设 $C$ 是群的中心且 $G/C$ 是循环群，则 $G$ 是交换群。
   利用定义。

5. $H$ 是 $G$ 的子群且 $[G:H]=p$，若有 $G$ 中不属于 $H$ 的元素 $g$ 使得 $gH=Hg$，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群。
   考虑 $H$ 的正规化子 $N_G(H)$。

6. 非零复数乘法群没有指数有限的真子群。
   反证法，设指数为 $n$ ，则对 $\forall x \in$ 非零复数乘法群，$x^n \in$ 子群。

2.4 同态与同构

概念&定理

• 同态，单同态，满同态，同构，自同态，自同构
• 平凡同态，恒等自同构，内自同构
• 像 $Imf$ （子群），核 $Kerf$ （正规子群）
• 同态基本定理：群同态 $f:G_1 \rightarrow G_2$ 诱导同构 $\overline{f}:G_1/Kerf \rightarrow Imf; \ \overline{f}(\overline{a})=f(a) \ \forall a \in G_1.$
  • 推论：$G_1/Kerf \cong Imf.$
• 对应定理：群同态 $f:G_1 \rightarrow G_2$ ，则
  • $H_1 \leqslant G_1 \Rightarrow f(H_1) \leqslant G_2;$
  • $K \leqslant G_2 \Rightarrow f^{-1}(K) \leqslant G_1,$ 且 $f^{-1}(K) \supseteq Kerf.$
  • $H$ 是 $G_1$ 的正规子群当且仅当 $f(H)$ 是 $G_2$ 的正规子群，这时还有 $G_1/H \cong G_2/f(H).$
    • 看法：可以通过找核的方式找正规子群。在这个看法下，若 $N \lhd G,$ 则 $G$ 的含 $N$ 的子群与 $G/N$ 的子群构成一一对应。
• 命题：$f$ 是单同态 $\Leftrightarrow \ Kerf = \{e\}.$
• 第一同构定理：$H \lhd G,\ N \lhd G,\ H \subseteq N,$ 则 $G/H╱N/H \cong G/N.$
  • $N \lhd H,\ N \leqslant H \leqslant G,\ 则 H \lhd G \Leftrightarrow H/N \lhd G/N.$
• 第二同构定理：$H \lhd G,\ K \leqslant G,$ 则 $K \cap H \lhd K$ 且 $KH/H \cong K/H \cap K.$
• $InnG \cong G/Z(G).$

部分例题

1. $G$ 非零复数乘法群，$H$ 为形如 $\begin{matrix} a&b\\ -b&a\\ \end{matrix}$ 的矩阵全体，其中 $a, b$ 是不同时为零的实数，则 $H$ 在矩阵乘法下构成一群，且与 $G$ 同构。
   作映射：$... \longrightarrow a+b\imath.$

2. $N$ 是 $G$ 的极大正规子群的充要条件是 $G/N$ 是单群。
   利用第一同构定理推论。

3. $N$ 和 $H$ 是 $G$ 的两个不同的极大正规子群，则 $H \cap N$ 是 $H$的极大正规子群。
   先证明 $NH=G$ （利用“极大”和“不同”），然后利用第二同构定理。

4. 设 $G$ 是有限群且 $|G|>2$ ，且 $\exist a\in G \ s.t.a^2\not ={e}$，则 $|AutG| >1$。
   分类讨论：①G是交换群时，作同构$x\longrightarrow x^{-1}$；②G是非交换群的时候，找一个内自同构即可。

5. 若G是有限群且 $|AutG| = 1$ ，则 $|G| \leqslant 2$ 。
   假设 $|G| >2$。G只能是交换群，且由上题， $\forall a \in G, a^2=e$。取G中极生成元组 $a_1,a_2,...,a_n$，G中任意元可用它们的0,1次的乘积表示。可以作G的自同构，交换 $a_1$ 和 $a_2$ 的幂次，仍然有 $|AutG| > 1$，矛盾。

2.5 循环群

部分例题

1. 设G是交换群且 $|G|=p$，$p$ 是素数，则 $G$ 是循环群 $\Leftrightarrow \ \forall H,K \leqslant G,\ H\subseteq K$ 或者 $K\subseteq H$。
   构造G的子群链 $0 \leqslant K_1 \leqslant K_2 \leqslant ... \leqslant K_m \leqslant G$，考察 $G-K_m$ 中的元素 $g$ 生成的群。

2.6 置换群

部分概念&定理

• Klein四元群：$K=\{ (1),(,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3) \}$
• 命题：$A_n=<(1,2,3),(1,2,4),...,(1,2,n)>$
  • 证明：$(1,i)(1,j)=(1,2,i)^2(1,2,j)$
• 定理：若 $n≥5$，则 $A_n$ 是单群。
  • 证明：设 $K\lhd A_n$，只要证明任何一个3循环 $(i,j,k) \in K$。进一步，只要证明 $(1,2,3) \in K$，再利用正规性即可。取 $K$ 中除了 $e$ 之外有最多不动点的元 $\alpha$，所谓不动点指元素 $i \in K, i\alpha =i$，下证明 $\alpha$ 一定是一个3循环。
    若不是3循环，将 $\alpha$ 写成不相交的循环之积，有可能有以下两种形式：$\alpha =(1,2,3,...)...,$ 或 $\alpha=(1,2)(3,4)...$。
    第一种情况：由于 $\alpha$ 是偶置换，则至少还要动两个点，不妨设动 $4,5$ 。令 $\beta =(3,4,5), \tau =\beta^{-1}\alpha \beta$，则 $\tau =(1,2,3,4,...)...,\ \tau \not ={\alpha}$，因此 $\sigma =\alpha^{-1} \tau \not ={e}.$
    第二种情况：$\tau =(1,2)(4,5)...$，也有 $\tau \not ={\alpha},\ \sigma =\alpha^{-1} \tau \not ={e}$。
    对任一大于5的元素，它是 $\beta$ 的不动点，因此若是 $\alpha$ 的不动点，则必是 $\sigma$ 的不动点。
    第一种情况：$\alpha$ 至少动5个点，而2在 $\sigma$ 下不动， $\sigma$ 的不动点比 $\alpha$ 多，矛盾！
    第二种情况：$1,2$ 在 $\sigma$ 下均不动，故 $\sigma$ 的不动点也比 $\alpha$多，矛盾！
    综上，$\alpha$ 必是3循环，定理得证。

部分例题

1. 若 $n≥3$，则 $Z(S_n)=\{ e\}$。
   用定义。

2. $[S_n,S_n]=A_n.$
   令 $\alpha =(1,2),\ \beta=(1,2,3)$，则 $\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{[-1}=(1,2,3) \Rightarrow (1,2,3)\in [S_n,S_n]. \Rightarrow A_n \subseteq [S_n,S_n]$。另一方面，任何换位子都是偶置换。

3. $A_4$ 没有六元子群。
   若有，则肯定有3循环，进一步计算得肯定有所有的3循环。

2.7 群对集合的作用

部分例题

1. $p^2$ 群是Abel群。
   假设 $G$ 不是Abel群，则 $|Z(G)|=p$。取 $a\in G-Z(G)$，则 $Z(G) \lneq Z_G(a) \leqslant G$，有 $Z_G(a)=G$，故 $a \in Z(G)$，矛盾！

2. 设 $G$ 是一个有限群且有一个指数为 $n$ 的子群 $H$，则 $\exist K \lhd L,K \leqslant H$ 且 $[G:K]|n!$。特别若 $G$ 不能整除 $n!$，则 $G$ 含有一个非平凡正规子群。
   想法：怎么着正规子群？通过同态核来找！$n!$是什么？构造置换群！
   考虑映射 $\varphi$，$\varphi (g)$ 是把 $\overline{H}$ 映射到 $g\overline{H}$ 的映射，用同态基本定理。

3. 设 $G$ 是 $p$ 群且 $|G|=p^n$，则：
   （1）$N\lhd G$ 且 $N\not ={\{ e\}}\ \Rightarrow\ C\cap N\not ={\{e \}};$ (2)$H\lneq G\Rightarrow H\subsetneq N(H).$
   （1）利用类方程，考察 $C\cap N$。
   （2）对 $Z(G)$ 是否包含在 $H$ 中分类讨论。若不包含，显然成立；若包含，则考察 $G/Z(G)$，存在不在 $\overline{H}$ 中的元 $\overline{x}$ 使得 $\overline{xHx^{-1}} = \overline{H}$，由对应定理， $xHx^{-1} = H$。

2.8 Sylow定理

部分例题

1. 108阶群不是单群。
   由Sylow定理，$n_3 = 1\ or\ 4$。
   (1) $n_3 = 1$：有27阶正规子群。
   (2) $n_3 = 4$：取Sylow 3-子群 $H$，则 $|H|=27,\ [G:H]=4\Rightarrow \exist N\leqslant H \leqslant G,\ N\lhd G$，且 $[G:N]≤4!=24$，讨论 $|N|$。

2. 56阶群不是单群。
   由Sylow定理，$n_7 = 1\ or\ 8$。
   (1) $n_7 = 1$：有7阶正规子群。
   (2) $n_7 = 8$：有8个Sylow 7-子群，7阶元共 $6*8=48$ 个，$56-48=8$。但G有Sylow 2-子群，阶为 $2^3=8$，因此剩下8个元构成 $G$ 的唯一Sylow 2-子群 $\Rightarrow$ 有8阶正规子群。

3. $11^2*13^2$ 阶群必是Abel群。
   由Sylow定理，$n_{11} = n_{13} = 1$。由2.7-1，$11^2$ 阶子群 $A$ 和 $13^2$ 阶子群 $B$ 都是Abel群。又 $A\cap B=\{e\}$，故 $A,B$ 交换且 $G=AB \Rightarrow G$ 是Abel群。

4. 231阶群的Sylow 11-子群含于G的中心内。
   由Sylow定理，$n_7 = n_{11} = 1$。设Sylow 11-子群为 $A$，Sylow 7-子群为 $B$。设 $C$ 是 $G$ 的Sylow 3-子群，则 $|AC|=33$，再用Sylow定理于 $AC$ 可知 $C\lhd AC$，故 $AC$ 交换。易知 $AB$ 交换。这样必有 $A\subseteq Z(G)$。

5. 36阶群不是单群。
   $G$ 的Sylow 3-子群 $H$ 满足 $[G:H]=4$，再利用结论。

6. 30阶群 $G$ 的Sylow 3-子群和Sylow 5-子群都是正规子群，且 $G$ 必含有一个15阶循环正规子群。
   15阶群是循环群：15阶群只有一个3阶正规子群和5阶正规子群，交为 $\{e\}$，是交换群，从而是循环群。
   30阶群G，若 $n_3=10$，15阶群只有一个Sylow 3-子群，故还有9个在15阶群外，矛盾！也不可能有6个Sylow 5-子群。

7. 72阶群不是单群。
   由Sylow定理，$n_3 = 1\ or\ 4$。
   (1) $n_3 = 1$：有9阶正规子群。
   (2) $n_3 = 4$：设 $N$ 是某个Sylow 3-子群的正规化子，则 $[G:N]=4$，再利用结论。

2.9 群的直积

部分例题

1. G 是 pq 阶循环群且 p, q 为互素的正整数，则 G 可分解为 p 阶循环子群和 q 阶循环子群的直积。
   利用 Bezout 定理。

2.10 有限生成 Abel 群

概念&定理

• 有限生成 Abel 群基本定理：有限生成加法群 G 可以分解成有限个循环群 $C_i$ 的直和（要么都是无限循环群；要么是阶接连整除的有限循环群，并且其余是无限循环群）
• 秩（无限循环群的个数），不变因子组
• 有限生成的自由 Abel 群
• 定理：任意有限生成 Abel 群都是某个有限生成自由 Abel 群的同态像。
  • 引理：设 G 是有限 Abel 群且 $|G|=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_r^{e_r}$（素数互不相同），则 $G=P_1\oplus P_2\oplus ... \oplus P_r$（Sylow-p 子群）
  • 引理：阶为 $p^e$ 的 Abel 群同构类集和 e 的分划集之间存在一个一一对应
  • 初等因子分解，不变因子分解

2.11 正规群列与可解群

概念&定理

• 正规群列：$\{e\}=G_0\lhd G_1\lhd ... \lhd G_{r-1}\lhd G_r=G$，商因子，极大正规子群
• 合成群列（必然有，但不一定唯一）
• Jordan-Holder 定理：有限群 G，$\{e\}=G_0\lhd G_1\lhd ... \lhd G_{r-1}\lhd G_r=G，\{e\}=H_0\lhd H_1\lhd ... \lhd H_{s-1}\lhd H_s=G$，则 r=s 且商因子之间存在一一对应
• 可解群，不可解群
• 命题：群 G 是可解群的充要条件是存在某个自然数 k，使 $G^{(k)}=\{e\}$
• 定理：可解群的子群与同态像仍是可解群。若 $K\lhd G$ 且 K 及 G/K 均是可解群，则 G 也是可解群。
• 定理：当 n≥5 时，$S_n$ 是不可解群。
• 定理：设 G 是有限群，则 G 可解 $\Leftrightarrow$ G 有一个合成群列的商因子都是素数阶循环群

3 环论

3.1 基本概念

概念&定理

• 环（对加法和乘法封闭，加法群，结合律，分配律，恒等元 1）
  • 例：Hamilton 四元数环 $H=\{a_0+a_1i+a_2j+a_3k\ |\ a_i\in\R\}$
• 交换环，整环，除环

3.2 子环、理想与商环

概念&定理

• 子环
• 理想，商环，零理想，平凡理想
  • 理想的加法、乘法
• 定理：交换环 R 是域 $\Leftrightarrow$ R 只有平凡理想

3.3 环的同态

概念&定理

• 同态基本定理

3.4 整环、分式域

概念&定理

• 周期元、周期
• 分式域

3.5 唯一分解环

概念&定理

• 整除，因子，真因子，相伴，不可约元
• 唯一分解环（UFD）/ Gauss 整区（非零非单位的元素可以唯一分解）
  • 因子链条件：不存在无限的真因子序列
    • 等价于 主理想升链条件
  • 素性条件：不可约元都是素元
  • 最大公因子条件：任意两个元素都有最大公因子
    • 和素性条件可互相代替

3.6 PID 与欧氏整区

概念&定理

• 主理想整区（PID）
• 欧氏整区，欧氏赋值
  • ED $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD

3.7 域上的一元多项式环

概念&定理

• 定理：F[x] 是 ED $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD
• 引理：I 是 R 的极大理想 $\Leftrightarrow$ R/I 是域
  • 推论：F[x] 中 f(x) 不可约 $\Leftrightarrow$ F[x] / (f(x)) 是域

3.8 交换环上的多项式环

概念&定理

• 引理：D 是整区 $\Rightarrow$ D[x] 是整区
• Gauss 引理：本原多项式之积仍是本原多项式
• 引理：f(x) 在 R[x] 中不可约 $\Rightarrow$ f(x) 在 F[x] 中不可约
• 定理：R 是 UFD $\Rightarrow$ R[x] 是 UFD
• Eisenstein 判别法：$p$ 不整除 $a_n$，$p^2$ 不整除 $a_0$，$p$ 整除 $a_i(0≤i≤n-1)$，则 f(x) 在 F[x] 中不可约

3.9 素理想

概念&定理

• 素理想
• 定理：P 是 R 的素理想 $\Leftrightarrow$ R / P 是整区
  • 推论：极大理想是素理想
• 定理：真理想一定含在某个极大理想之中
  • 推论：极大理想存在

4 域与 Galois 理论

4.1 域的扩张

概念&定理

• F(S)：E 是 F 的扩域，S 是 E 的自己，则 F(S) 是由 F 及 S 生成的扩域
• 代数扩域 / 代数扩张，超越扩域 / 超越扩张
• 定理：[K:F] = [K:E] [E:F]
• 定理：E/F 域扩张，u $\in$ E 是 F 上的代数元，极小多项式是 g(x)，则 [F(u):F] 有限且等于 deg g(x)。反之，若 [F(u):F]＜$\infty$，则 u 必是 F 上的代数元
  • 推论：有限扩张必是代数扩张

4.2 代数扩域

概念&定理

• 定理：E/F 域扩张，K 是 E 中所有 F 上代数元的全体组成的集，则 K 是 E 的子域
  • 推论：两个代数数的和、差、积、商都是代数数
• 定理：E/F 域扩张，则下列命题等价：
  • [E:F]＜$\infty$
  • 存在 E 中有限个代数元 $u_1, u_2,..., u_n$ 使 $E=F(u_1, u_2,..., u_n)$，此时，E 必是 F 的代数扩域
• 定理：代数扩张有传递性
• 代数闭包，代数闭域
• 定理：下列命题等价：
  • K 是代数闭域
  • K[x] 中任一不可约多项式的次数等于1
  • K[x] 中任一次数大于零的多项式可分解为一次因子的成绩
  • K[x] 中任一次数大于零的多项式都在 K 中至少有一个根

4.4 分裂域

概念&定理

• 引理：设 f(x) 是 F 上的多项式且不可约，则必存在 F 的扩域 E，使 f(x) 在 E 中至少有一个根
  • 用到：F[x] / (f(x)) 是域
• Kronecker 定理：f(x) 是域 F 上次数不小于 1 的多项式，则必存在 F 的扩域 E，使 f(x) 在 E 中至少有一个根
• 分裂域
• 定理（分裂域存在）：F[x] 中任一非零首一多项式均有分裂域

后面的定理没看懂，摆烂！