离散数学(2) 复习笔记

Ch1 基本概念

1.1 图的概念

图：二元组 (V(G), E(G)) ，节点集，边集。 G = (V, E)。有限图，无限图。

有向边 | 弧，无向边。相邻结点，相关联。始点，终点，直接前驱，直接后继。端点。有向图，无向图，混合图。自环，重边。多重图。

度 d(v)，正度 d^+(v) （发出的边），负度 d^-(v) （接收的边）。

简单图，空图 N_n，完全图 K_n。

权，赋权图，正权图。

子图，支撑子图（V' = V），导出子图。平凡子图。

图的并、交、对称差。G - H，补图G（上划线），G - v，G - e。

邻点集，直接后继集 | 外邻集 ，直接前驱集 | 内邻集 。

同构。

1.2 图的代数表示

邻接矩阵（可以表示自环，无法表示重边）

权矩阵（可以表示自环，无法表示重边）

关联矩阵（可以表示重边，无法表示自环）

边列表

正向表

逆向表

邻接表

 

Ch2 道路与回路

2.1 道路与回路

有向道路，有向回路，简单有向道路（回路），初级有向道路（回路） | 路（回路）。

链 | 道路，圈 | 回路，简单道路（回路），初级道路（回路）。

连通图，非连通图，连通支。

2.2 道路与回路的判定

邻接矩阵法

Warshall算法

搜索法（BFS / DFS）

2.3 欧拉道路与回路

欧拉回路（道路）

2.4 哈密顿道路与回路

哈密顿回路（道路） | H回路（道路）

G的闭合图 C(G)

2.5 旅行商问题

旅行商问题 | TSP | TS：给定一个正权完全图，求其总长最短的哈密顿回路，就是TSP问题。

分枝与界法。

2.6 最短路径

① 权值均大于0：正权图 —— Dijkstra算法

② 权值均等于1 —— 广探法

③ 权值为任意实数 —— Ford算法

2.7 关键路径

PT图：用结点表示工序，如果工序 i 完成之后工序 j 才能启动，则图中有一条有向边 (i, j)，其长度 w_i 表示工序 i 所需的时间。

a. τ(v_n') = π(v_n')

b. 对 j 从 (n-1) 到 1，令 τ(v_j') = min ( τ (v_i') - w(v_j', v_i') )，其中 v_i' 是 v_j' 的直接后继。

 

PERT图：采用有向边表示工序，其权值表示该工序所需时间，如果工序 e_i 完成后 e_j 才能开始，则令 v_k 是 e_i 的终点，e_j 的始点。

最早完工时间是 v_1 到 v_n 的最长路径长度，这条路径就是关键路径。工序 e_k = (v_i, v_j) 的最晚启动时间是 τ(v_i, v_j) = π(v_n) - π(v_j, v_n) - w(v_i, v_j)。

 

Ch3 树

3.1 树的有关定义

树，树枝，树叶。割边。

支撑树 | 生成树，余树。

3.2 基本关联矩阵及其性质

基本关联矩阵 B_k。

3.3 支撑树的计数

① 有向连通图的树计数

G 中不含某特定边 e 的树的数目：作 G - e。

G 中必含某特定边 e 的树的数目：收缩结点。

② 无向连通图的计数

对无向连通图G的每边任给一方向，便得到相应的有向连通图G'，计算G'的树即可。

③ 有向连通图G根树的计数

根树：任何以 v_0 为根的根树的基本关联矩阵 B_0 中一定是每行每列都只有一个 -1 元素。

重新编号后，可以让基本关联矩阵变成一个上三角矩阵，-1 元全是对角元，因此把1改为0之后行列式不变。这正是根树的特征。

3.4 回路矩阵与割集矩阵

① 回路矩阵

正向边，反向边。

完全回路矩阵 C_e。

基本回路，基本回路矩阵 C_f。

基本回路矩阵的秩是 m - n + 1。

 

回路矩阵。

② 割集矩阵

割集，有向割集。

完全割集矩阵 S_e。

基本割集，基本割集矩阵 S_f。

割集矩阵

3.5 支撑树的生成

树的距离，基本树变换。

T^e

T^(e_i)(e_j) = { t ⊕ (e_j, b) | b 属于 e_i 生成的割集与 e_j 生成的割集的并，t 属于 T^(e_i)，b ≠ e_j }

3.6 Huffman树

二叉树，完全二叉树，赋权二叉树，最优二叉树。

3.7 最短树

① Kruskal （克鲁斯卡尔）算法

② Prim （普林）算法

③ 破圈法

一直找回路，去掉最长边。

 

Ch4 平面图与图的着色

4.1 平面图

可嵌入平面 | 可平面图，平面图。

面 | 域，边界。无限域，内部域。相邻。

4.2 极大平面图

极大平面图。

4.3 非平面图

二分图 | 二部图。非平面图。

K型图

库拉图斯基（Kuratowski）定理

4.4 图的平面性检测

DMP 算法。

4.5 对偶图

对偶图。

4.6 色数与色数多项式

色数，边色数。

G_ij（上划线，上加点）

色数多项式

 

Ch5 匹配与网络流

5.1 二分图的最大匹配

匹配，饱和点，不饱和点。

最大匹配。交互道路，可增广道路。

匈牙利算法

5.2 完全匹配

完全匹配，完美匹配。

最小覆盖数。

5.3 最佳匹配及其算法

最佳匹配。

最大权匹配算法

最小权匹配 | 最小成本。

5.5 网络流图

 运输网络 | 网络流图，源 s，汇 t，容量 c_ij 。允许流，边流量 f_ij，流量w。

 饱和边，非饱和边。最大流。

割切 (S, S上划线)，割切的容量 C(S, S上划线)。

增流路径：① 如果从 s 出发，沿途的向前边都不饱和，直到 t 都是如此，那么该路径一定可增流；② 如果从 s 出发，沿途向前边不饱和，向后边流量大于零，直到 t 都是如此，那么该路径一定可以增流。

5.6 Ford-Fulkerson最大流标号算法

5.7 最大流的Edmonds-Karp算法

Ch7 代数结构预备知识

7.1 集合与映射

基数，幂集。分配律。

映射，定义域，值域，象，原象，f 的象。

映射相等（值域、定义域、对应方式相等）。

单射，满射，双射。

映射的合成（一般不满足交换律，但是满足结合律）。

恒等映射。

左可逆映射，右可逆映射，左逆映射，右逆映射，可逆映射。

7.2 等价关系

笛卡尔积。二元关系。等价关系 ~ ，等价类 a上划线，代表元，等价类族 A上划线，商集 A/~，自然映射。

7.3 代数系统的概念

二元运算，n元运算。代数系统 | 代数结构 | 代数 (A, f_1, f_2, ..., f_s)，有限代数系统。

* 判定一个给定的系统是代数系统：① 定义的运算应该满足映射成立条件；② 所有运算的封闭性。 *

交换律，结合律 -> 指数律。

左单位元，右单位元。

左可逆，右可逆，左逆元，右逆元，可逆元。

每个元都有逆元 -> 消去律。

7.4 同构与同态

同类型，同构，同态。

子代数系统 | 子代数，同态象。

单一同态，满同态 X~Y

 

自同态，自同构。

 

Ch8 群

8.1 半群

半群，含幺半群 | 幺群，交换幺群，循环幺群，生成元。

子半群，子幺群。同态，单同态，满同态，同构。

8.2 群、群的基本性质

群，交换群 | 阿贝尔（Abel）群。

阶 | 周期 O<a>，有限阶元素。

子群，平凡子群，真子群 H＜G。

8.3 循环群 群的同构

循环群 <a>，生成元。

n 阶循环群，无限阶循环群。

8.4 交换群和置换群 Cayley定理

变换，全部变换的集合 M(A)，一一变换。

变换的乘积 | 乘法运算（符合结合律）。一一变换群 E(A)，变换群。

n 元置换（有限集合中的一一变换），置换群。

n 次对称群 S_n，n 元置换群。

轮换，恒等置换，对换。

不相交的轮换。

逆序，逆序数。

奇置换，偶置换。交错群。

8.5 陪集和群的陪集分解 Lagrange定理

（子群 H 在 G 中的一个）左陪集，右陪集。

H 在 G 中的指数 [G:H]

8.6 正规子群与商群

正规子群 | 不变子群 H⊴G，陪集。

8.7 群的同态、同态基本定理

同态映射 | 同态，单一同态，满同态 G_1 ~ G_2，同构，同态象。

（群的同态象仍然是群）