高等线性代数(2) 复习笔记（已中道崩殂）
第六章 特征值
6.0 线性变换与矩阵
线性变换的相关概念
线性变换的矩阵表示：(σ(α_1),σ(α_2),...,σ(α_n))=(α_1,α_2,...,α_n)*A；(α_1,...,α_n)到(β_1,...,β_n)的过渡矩阵为P(即(β_1,...,β_n)=(α_1,...,α_n)*P)，σ在α下的表示矩阵为A，在β下的表示矩阵为P，则B=P^(-1)AP
6.1 特征值和特征向量
定义6.1.1 （线性变换的）特征值，特征向量
定义6.1.2 （矩阵的）特征值，特征向量，特征子空间
定义6.1.3 （矩阵的）特征多项式
定理6.1.1 若A和B相似，则A与B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值（计重数）。
定义6.1.4 （线性变换的）特征多项式
* Vieta定理 -> λ_1+λ_2+...+λ_n = trA，λ_1*λ_2*...*λ_n = |A| *
* 求矩阵特征值和特征向量的方法：作矩阵λI-A并求出特征多项式|λI-A|的根（A的特征值），将每个特征值代入线性方程组(λI-A)x=0求出非零解，就是关于特征值λ的特征向量。 *
* 对数域K上的矩阵（或相应的线性变换），有可能在K中不存在特征值。 *
定理6.1.2 任一复方阵必（复）相似于一上三角阵。
证明：对矩阵阶数归纳。
命题6.1.1
命题6.1.2
命题6.1.3
6.2 对角化
定理6.2.1 n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量（这样的矩阵称为可对角化矩阵）。
定理6.2.2 n维线性空间V上的线性变换φ存在一组基使得它在这组基下的表示矩阵为对角阵 等价于 φ有n个线性无关的特征向量（这样的线性变换称为可对角化线性变换）。
定理6.2.3
推论6.2.1 线性变换φ属于不同特征值的特征向量必线性无关。
推论6.2.2 若n维线性空间V上的线性变换φ有n个不同的特征值，则φ必可对角化。 | 若线性变换φ的特征多项式没有重根，则φ可对角化。
* 推论6.2.2是充分不必要条件。 *
推论6.2.3
定义6.2.1 度数 | 几何重数，重数 | 代数重数
引理6.2.1 线性变换φ的特征值λ度数总是小于其重数。
证明：使用基扩张定理以及矩阵分块。
定义6.2.2 完全的特征向量系
定理6.2.4 φ可对角化 等价于 φ有完全的特征向量系。
* 求P使得P^(-1)AP为对角阵：只要求出A的n个线性无关的特征向量，把它们放在一起组成一个矩阵就是要求的P。*
6.3 极小多项式与Cayley-Hamilton定理
定义6.3.1 （矩阵或线性变换的）极小多项式
引理6.3.1 m(x) | f(x)
命题6.3.1 任一n阶矩阵的极小多项式唯一。
命题6.3.2 相似的矩阵具有相同的极小多项式。
证明：只要证明两个极小多项式互相整除即可。
命题6.3.3
证明：只要证明两个式子互相整除即可。
例6.3.2 设n阶方阵A可对角化，λ_1,λ_2,...,λ_k是A的全部不同特征值，则A的极小多项式为(λ-λ_1)(λ-λ_2)...(λ-λ_k)。
引理6.3.2 (x-λ_0) | m(x)
定理6.3.1
证明：利用引理：对n阶上三角阵A，f(A)=O。
推论6.3.1
推论6.3.2
推论6.3.3
第七章 相似标准型
7.1 多项式矩阵
定义7.1.1 λ-矩阵的初等行变换
定义7.1.2 λ-矩阵相抵
定义7.1.3 初等λ-矩阵
定理7.1.1 对λ-矩阵A(λ)施行第k类初等行（列）变换 等价于 用第k类初等λ-矩阵左乘（右乘）A(λ)。
定义7.1.4 逆λ-矩阵，可逆λ-矩阵 | 可逆阵
* 什么是矩阵多项式？ *
引理7.1.1 矩阵多项式的带余除法
定理7.1.2 A与B相似 等价于 λI-A与λI-B相抵。
证明：反复利用引理7.1.1以及λ的系数比较。
7.2 矩阵的法式
引理7.2.1 A(λ)相似于B(λ)：b_11(λ)≠0且b_11(λ)可整除B(λ)中的任一元素。
证明：对A的元素的deg最小值做数学归纳法，反复利用带余除法。
定理7.2.1 A(λ)相抵于对角阵diag{d_1(λ),...,d_r(λ);0,...,0}，其中d_1(λ)是非零首一多项式且d_i(λ)整除d_(i+1)(λ)。
证明：对n用数学归纳法，利用分块矩阵乘法。
* r是A(λ)的秩，但是满秩方阵不一定可逆。 *
* diag{d_1(λ),...,d_r(λ);0,...,0}称为A(λ)的法式或相抵标准型。 *
推论7.2.1 任意n阶可逆λ-矩阵都可表示为有限个初等λ-矩阵的积。
证明：把定理7.2.1的形式写出来，讨论得r=n，……。
推论7.2.2 A的特征矩阵λI-A必相抵于diag{1,...,1,d_1(λ),...,d_m(λ)}，其中d_i(λ)整除d_(i+1)(λ)。
证明：把定理7.2.1的形式写出来，讨论得r=n，……。
7.3 不变因子
定义7.3.1 k阶行列式因子
引理7.3.1 非零行列式因子依次满足整除关系。
证明：把i+1阶子式展开即可。
定义7.3.2 不变因子
定理7.3.1 相抵的λ-矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。
证明：只要证明行列式因子在任意一种初等变换下不变即可。
推论7.3.1 A(λ)的法式为diag{d_1(λ),...,d_r(λ);0,...,0}，则其不变因子为d_1(λ),...,d_r(λ)。
证明：A(λ)与diag{d_1(λ),...,d_r(λ);0,...,0}相抵，从而有相同的不变因子。
推论7.3.2 A(λ)与B(λ)相抵当且仅当它们有相同的法式。
推论7.3.3 A(λ)的法式与初等变换的选取无关。
* λI-A的行列式因子与不变因子均简称为A的行列式因子与不变因子。 *
推论7.3.4 设F⊆K是两个数域，A,B是F上的两个矩阵，则A和B在F上相似的充分必要条件是它们在K上相似。
7.4 有理标准型
引理7.4.1
证明：(2)利用e_1,e_1*F,...,e_1*F^(r-1)线性无关即得。
引理7.4.2
定理7.4.1
定义7.4.1 矩阵A的有理标准型或Frobenius标准型；Frobenius块
定理7.4.2 极小多项式m(λ)等于次数最高的不变因子。
7.5 初等因子
定义7.5.1 初等因子，初等因子组
定理7.5.1 初等因子组是相似关系的全系不变量。
证明：初等因子he行列式因子可以互相确定。
7.6 Jordan标准型
引理7.6.1
引理7.6.2
引理7.6.3
定理7.6.1
定义7.6.1 Jordan标准型，Jordan块
定理7.6.2
推论7.6.1
推论7.6.2
推论7.6.3
推论7.6.4
推论7.6.5
7.7 Jordan标准型的进一步讨论和应用
定理7.7.1
定义7.7.1
定义7.7.2
定理7.7.2
引理7.7.1
定理7.7.3
7.8 矩阵函数
定义 矩阵序列收敛 / 发散，矩阵级数收敛 / 发散，矩阵幂级数
定理7.8.1
定理7.8.2
* 在具体计算矩阵函数时不要随便套用数值函数的性质。 *
