离散数学(1) 复习笔记

Ch1 命题逻辑的基本概念

1.1 命题

命题：能判断真假且非真即假的陈述句。

命题的真值，真命题，假命题。

* 真值待定 *

简单命题 | 原子命题，复合命题。

1.2 常用的5个命题联结词

否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。

* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。

* p→q = ﹁ p∨q *

* 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。注意命题符号化的蕴涵方向。

* domain * A horse is white. （×）

联结词集，一元联结词，二元联结词。

* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔

1.3 合式公式及其赋值

命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。

合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原子命题公式（单个命题变项），子公式。

* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。 *

赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。

真值表。

* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照二进制加法，直到11…1为止；按照运算的优先次序写出各子公式。 *

命题公式的分类：重言式 | 永真式，矛盾式 | 永假式，可满足式。

1.4 重言式与代入规则

代入规则。

* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原子命题），而不能是复合命题。 2.对公式中某命题变项施以代入，必须对该公式 中出现的所有同一命题变项施以相同的代换。 *

1.5 命题形式化

命题形式化 | 符号化。

* 注意充分条件和必要条件的区别 *

 * 注意语义是否考虑完整 *

 1.6 波兰表达式

中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。

 

Ch2 命题逻辑的等值和推理演算

2.1 等值定理

等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为一个重言式。

* 等值关系是等价关系 *

原命题，逆命题，否命题，逆否命题。

2.2 等值公式

子公式。

置换规则：设X为公式A的子公式，用与X等值的公式Y将A中的X施以代换，称为置换，该规则称为置换规则。

基本的等值公式（命题定律）：

1. 双重否定律

¬¬P = P

2. 结合律

(P ∨ Q)∨ R = P ∨ (Q∨ R)

(P ∧ Q)∧ R = P∧ (Q ∧ R)

(P ↔ Q) ↔ R = P ↔ (Q ↔ R)

(P → Q) → R ≠ P → (Q → R)

* P → (Q → R) = (P ∧ Q) → R *

“ → ”不满足结合律

3. 交换律

P ∨ Q = Q ∨ P

P ∧ Q = Q ∧ P

P ↔ Q = Q ↔ P

P → Q ≠ Q → P

“ → ”不满足交换律

4. 分配律

P∨ (Q∧ R) = (P∨ Q)∧ (P ∨ R)

P ∧ (Q∨ R) = (P∧ Q) ∨ (P ∧ R)

P → (Q → R) = (P → Q) → (P → R)

P ↔ (Q ↔ R) ≠ (P ↔ Q) ↔ (P ↔ R)

“↔ ”不满足分配律

5. 等幂律（恒等律）

P ∨ P = P

P ∧ P = P

P → P = T

P ↔ P = T

6. 吸收律

P ∨ (P ∧ Q) = P

P ∧ (P ∨ Q) = P

7. 摩根（De Morgan）律：

¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q

¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q

对蕴含词、双条件词作否定有

¬(P →Q) = P ∧ ¬Q

¬(P↔Q) = ¬P↔Q = P↔¬Q = (¬P∧Q)∨(P∧¬Q) （借助图形）

8. 同一律：

P ∨ F = P

P ∧ T = P

T → P = P

T ↔ P = P

还有 　　P → F = ¬P　　 F ↔ P = ¬P

9. 零律：

P ∨ T = T

P ∧ F = F

还有 　　P → T = T 　　F → P = T

10. 补余律：

P ∨ ¬P = T

P ∧ ¬P = F

还有 　　P → ¬P = ¬P 　　¬P → P = P 　　P ↔ ¬P = F

常用的等值公式：

蕴涵等值式：P → Q = ¬P ∨Q

前提合取合并：P→(Q→R) = (P∧Q)→R

等价等值式：P ↔ Q =( P → Q) ∧(Q →P)

假言易位： P → Q = ¬Q → ¬P　　* 逆否命题 *

等价否定等值式： P ↔ Q = ¬ P ↔ ¬ Q

归谬论：(P → Q)∧ ( P → ¬Q) = ¬P

从取真来描述双条件：P↔Q = (P∧Q)∨(¬P∧¬Q) 

从取假来描述双条件 ：P↔Q = (P∨¬Q)∧(¬P∨Q) 

前提交换：P→(Q→R) = Q→(P→R) 

前提析取合并：(P→R)∧(Q→R)=(P∨Q)→R 

文氏图（Venn Diagram）。

等值演算（由已知等值式推演出另外一些等值式的过程）。

用途：判别命题公式的类型；验证两个公式等值；解决实际问题。

2.3 命题公式与真值表的关系

从取1的行来列写；从取0的行来列写。

与非 ↑，或非 ↓。

2.4 联结词的完备集

真值函项。

 联结词的完备集 | 完备的联结词集合。

2.5 对偶式（不考！）

2.6 范式

文字（命题变项及其否定式），互补对，合取式，析取式。

定理：

(1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某 个命题变项及它的否定式(一个互补对)。 A = P∨¬ P∨Q

(2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某 个命题变项及它的否定式(一个互补对)。 A = P∧¬ P∧Q

析取范式，合取范式。

范式存在定理。

求范式具体步骤：

利用等值公式中的等值式和蕴涵等值式将公式中的→、 ↔用联结词¬ 、∧、∨来取代；

P → Q = ¬P ∨Q

P ↔ Q = (P∧Q)∨(¬P∧¬Q) (求合取范式)

P ↔ Q = (P∨¬Q)∧(¬P∨Q) (求析取范式)

利用摩根律将否定号¬移到各个命题变元的前端；

利用结合律、分配律、吸收律、等幂律、交换律 等将公式化成其等值的析取范式和合取范式。

极小项（针对合取式） m_i，主析取范式，主析取范式定理；

极大项（针对析取式） M_i，主合取范式，主合取范式定理。

求法：先求析取/合取范式，再填满变项。

主析取范式与主合取范式转换：

 空公式：永真式的主合取范式为空公式；矛盾式的主析取范式为空公式。

主(析取)范式的用途：求公式的成真赋值与成假赋值；判断公式的类型；判断两个命题公式是否等值；解决实际问题。

2.7 推理形式

推理形式，前提，结论。

重言蕴涵 | 永真蕴含 ⇒，逻辑推论。

重言蕴含几个结果：

(1) 如果A⇒B成立，若A为重言式，则B也是重言式。

(2) 若 A⇒B且B⇒A同时成立，必有A=B；反之亦然。

(3) 若A⇒B且B⇒C同时成立，则有A⇒C

(4) 若 A⇒B且A⇒C同时成立，则A⇒B∧C

(5) 若A⇒C且B⇒C同时成立，则A∨B⇒C

重言蕴涵的充要条件：

A⇒B 成立的充分必要条件是A→B为重言式；

A⇒B 成立的充分必要条件是A∧¬B为矛盾式。

* 注意：A⇒B 中，A自身不能永假！若A永假, 则A→B 肯定永真, 虽然A⇒B也成立，但已失去意义！ *

2.8 基本的推理公式

证明 A⇒B 的几种方法：

1. 证 A→B 是重言式

2. 证 A∧¬B 为矛盾式

3. 真值表法

4. 证 ¬B ⇒ ¬ A 即反证法

5. 解释法

6. …

基本推理公式：

1. P ∧ Q ⇒ P　　　　但 P ∨ Q ≠> P

2. ¬(P→Q) ⇒ P　　　1式的直接推论 P∧ ¬Q ⇒ P

3. ¬(P→Q) ⇒ ¬Q　　　1式的直接推论 P∧ ¬Q ⇒ ¬Q

4. P ⇒ P∨Q

5. ¬P ⇒ P→Q 　　　　2式的逆否，4式的推论。

6. Q ⇒ P→Q 　　　　3式的逆否，4式的推论。

7. ¬P∧(P∨Q) ⇒ Q　　非 P，而P∨Q又成立，只有Q成立

8. P∧(P→Q) ⇒ Q 　　*假言推理，分离规则，7式的变形

9. ¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P 　　7式的变形

10. (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R 　　　　*三段论

11. (P↔Q)∧(Q↔R) ⇒ P↔R　　　　　　 类似10式

12. (P→R)∧(Q→R)∧(P∨Q) ⇒ R 　　10式的推论

13. (P→Q)∧(R→S)∧(P∨R) ⇒ Q∨S 　　10式的推论

14. (P→Q)∧(R→S)∧(¬Q∨¬S) ⇒ ¬P∨¬R　　 9式的推论

15. (Q→R) ⇒ ((P∨Q)→(P∨R))　　　　　　 P=F时左=右， P=T时右=T

16. (Q→R) ⇒ ((P→Q)→(P→R)) 　　　　　　P=T时左=右， P=F时右=T

2.9 推理演算

主要的推理规则：

(1) 前提引入规则：推理过程中可随时引入前提

(2) 结论引入规则：中间结论可作为后续推理的前提

(3) 代入规则：仅限于重言式中的命题变项

(4) 置换规则：利用等值公式对部分公式进行置换

(5) 分离规则；由𝐴及𝐴 → 𝐵成立, 可将𝐵分离出来

(6) 条件证明规则：𝐴1 ∧ 𝐴2 ⇒ B 与𝐴1 ⇒ 𝐴2 → B等价 (前提引入与附加前提引入)

2.10 归结法

 

Ch3 命题逻辑的公理化

3.1 公理系统（axiom system）的结构

公理系统 | 形式系统（从一些公理出发，根据演绎规则推导出一系列定理，这样形成的演绎体系）。

公理系统的结构：初始符号，形成规则，公理，变形规则，建立定理。

3.2 命题逻辑的公理系统

罗素（Russell）公理系统

 

Ch4 谓词逻辑的基本概念

4.1 谓词和个体词

谓词逻辑（一阶谓词逻辑 | 狭谓词逻辑）= 命题逻辑 + {个体词，谓词，量词，函数}

个体词 | 主词（所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的个体），个体常项 a b c，个体变项 x y z，个体域 | 论域 D，总论域。

谓词（Predicate）（用来刻划个体词的性质或多个个体词间关系的词），谓词常项，谓词变项，一元谓词，多元谓词，零元谓词。

* 零元谓词为谓词常项时，零元谓词化为命题。一个命题是没有个体变项的零元谓词。 *

4.2 函数和量词

函数。

量词，全称量词 ∀，存在量词 ∃。

量词的辖域，约束变元，自由变元。

4.3 合式公式

一阶谓词逻辑（量词仅作用于个体变项，不允许量词作用于命题变项和谓词变项）。

4.4 自然语句的形式化

* 在谓词演算中，命题的符号表达式与论域有关系。 *

4.5 有限域下公式的表示法

4.6 公式的普遍有效性和判定问题

普遍有效公式，不可满足公式，可满足公式。

 

Ch5 谓词逻辑的等值和推理演算

5.1 否定型等值式

等值，否定型等值式。

5.2 量词分配等值式

5.3 范式（Normal Form）

前束范式，基式 | 母式（不含量词的公式），前束范式存在定理。

SKOLEM标准型（SNF） | ∀前束范式。

∀前束范式存在定理。

* A 是不可满足的当且仅当其∀前束范式是不可满足的。 *

* 消去存在量词的时候，注意前面有没有全称量词。 *

5.4 基本推理公式

5.5 推理演算

5.6 谓词逻辑的归结推理法

 

Ch9 集合

9.1 集合的概念与表示方法

集合，集合的表示法；

外延表示法 - 穷举法 | 列举法；

内涵表示法 - 描述法 | 概括法 | 谓词表示法，归纳定义法。

悖论。

9.2 集合间的关系和特殊集合

集合，元素，属于，不属于。

集合的相等。

子集合 | 子集。

集合相等的充要条件。

包含关系 ⊆ 的自反性、反对称性、传递性。

真子集。

两集合不相交。

空集（empty set）Ø（念oe）。

全集（universal set）。

9.3 集合的运算

五种基本运算：并集（union） ∪，交集（intersection） ∩，差集 | 相对补集（difference），余集（complement），对称差（symmetric difference） ⊕。

* A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，即A△B=(A∪B)—(A∩B)，也就是A△B=(A—B)∪(B—A)。 *

广义并，广义交。

* ∩∅没有意义。 *

幂集（power set）。

有序对 | 对偶，有序对的集合形式定义，n元组。

笛卡尔积（Descartes product），n阶笛卡尔积。

集合运算的优先顺序：

9.4 集合的图形表示法

文氏图（Venn Diagram）。

9.5 集合运算的性质和证明

集合恒等式：

差集的性质：

对称差：

包含于：

幂集合的性质：

传递集合（如果集合A的任一元素的元素都是A的元素）：

广义并、广义交：

幂集：

笛卡尔积和∩、∪：

笛卡尔积和包含于：

9.6 有限集合的基数

有限集合的基数，有限集合。

容斥原理。

9.7 集合论公理系统

ZFC公理系统：

后继，前驱。

集合的三歧性，自然数的三歧性。

 

Ch10 关系

10.1 二元关系

二元关系（有序对的集合） | 关系，A到B的二元关系，A上的一个二元关系。

n元关系。

恒等关系 I_A，全域关系 E_A，空关系 φ。

定义域 dom，值域 ran，域 fld。

10.2 关系矩阵和关系图

关系矩阵，关系图。

10.3 关系的逆、合成、限制和象

逆，合成 | 左复合，限制 R↑A，象 R[A]。

* SoR 先R后S，先右后左。 *

关系的运算：

10.4 关系的性质

自反性，非自反性。

* 不是反义词！ *

对称性，反对称性。

* 不是反义词！ *

传递性。

关系的性质：

10.5 关系的闭包

性质：

WARSHALL算法（上课没听……略了……）

* s(R) 不一定是传递的！ *

10.6 等价关系和划分

等价关系，等价类，商集，划分。

10.7 相容关系和覆盖

相容关系，相容类，最大相容类。

* 自反、对称 *

最大相容类的存在性。

覆盖，覆盖块。

10.8 偏序关系

偏序关系 | 弱偏序关系 | 半序关系。

* 自反、反对称、传递 *

结构，偏序结构 | 偏序集。

拟序关系 | 强偏序关系。

* 非自反、传递 -> 反对称 *

盖住关系 cov A，哈斯图。

最大元素 | 最大元，最小元素 | 最小元，极大元素 | 极大元，极小元素 | 极小元，上界，下界，最小上界 | 上确界，最大下界 | 下确界。

全序关系 | 线序关系，全序集。

链，链的长度；反链，反链的长度。

* 是反义词！ *

良序关系，良序集（A的任何非空子集都有最小元）。

闭区间，开区间，半开区间。

 

Ch11 函数

11.1 函数和选择公理

函数 | 全函数 | 映射 | 变换。

* 条件：单值性；定义域取遍A中所有元素。 *

从A到B的所有函数的集合A_B。

函数的象。

满射，单射 | 内射，双射。

常函数，恒等函数。

单调函数，严格单调函数。

n元运算。

泛函。

典型映射 | 自然映射。

11.2 函数的合成与函数的逆

函数的合成。

函数的逆，反函数，函数的左逆和右逆。

11.3 函数的性质

函数的相容性，函数集的相容性，关系和函数的相容性。

11.4 特征函数

11.5 模糊子集（不考！）

模糊子集，隶属函数。

λ截集。

分解定理。

支集，截集，边界，正规模糊集，非正规模糊集。

 

Ch12 实数集合与集合的基数

12.1 实数集合

整数，正整数，负整数，相反数，小于等于关系，小于关系。

等价关系，有理数集合，小于等于关系。

基本函数 | 有界非递减函数，基本序列，实数集，小于关系，小于等于关系。

12.2 集合的等势

等势，不等势。

12.3 有限集合与无限集合

有限集合，无限集合。

12.4 集合的基数

集合的基数，阿列夫零 ℵ0，阿列夫壹 ℵ1。

12.5 基数的算术运算

12.6 基数的比较

优势于。

ℵ1=card R=card N2 =2^ℵ0 .

12.7 可数集合与连续统假设

可数集合。

连续统假设（Continuum Hypothesis | CH假设）