【转】分析中的一些概念
邻域:以某个点为中心,一个长度为半径,则就简称点的领域,而利用领域概念可以讨论直线上各点集性质以及点与集合间的关系。
内点:若对于一集合上一点,存在一个领域属于这个集合,则这个点就是这个集合的内点,如果集合内的所有点都是内点,则这个集合就是开集或者称为开核。
聚点:如果一点的任何一领域内都含有包含在一集合内部,但不同于此点的点,则此点就是此集合的聚点,若一个集合内部所有点都为聚点,则此集合称为导集。
闭包:把一个集合和其导集称为此集合的闭包;并且一般闭包是闭集,在一个特定空间上开集的补集一般也是闭集,闭集对其内点列的极限运算具有封闭性;但闭和开不能不所有集合包括完,还存在一大类即非闭也非开的集合;同时闭包是包含此集合一切闭集的交,且是包含此集合最小的闭集。
开闭:对于开集和闭集的性质,在有限下几乎不变,但在无限下不加限制就有可能向对立面转化;开集的交只能是有限个,闭集的并也只能是有限个并。
代数:一般把无穷个闭集的并叫做一种类型,无穷个闭集的并可以达到开,一般吧无穷可开集的交叫做一种类型,因为无穷的开的交可以达到闭。
极限点:极限点实际上就是聚点,因为聚点都可以用此集合内部的一串点去逼近它,故也把此聚点也成为极限点;同时一般点列具有极限的性质,其描述一种趋势,其中元素可以重复,但顺序不可以改变。
集的构造:实直线上任一非空的开集都可以表示为可列或者有限个开集的并;而对于闭集的构造,通过除去开集来实现,通过挖掉可列个开集的并。
R的性质:若其内存在一收敛的点列,则其极限必唯一;任何单调且存在相应界的数列必有界;一数列收敛于一特定的数字等价于其内各子列都收敛此数值;且任何有界的数列必有收敛的子列。
柯西列:如一数列满足,对于任给一特定值,存在一整数,使得大于此整数的两个数之间的值可以小于那个特定值,而此数列就为柯西列;并且在实数中柯西列与数列收敛等价,此时收敛数列等价于柯西列这仅是实数所具备的性质。
完备性:如果一个集合内任一柯西列都收敛于此集合内某一数值,则就称此集合是完备的。
确界:把一集合的最小上界记住上确界,把一集合的最小下界记住下确界;对于上确界,若使得其在减少一部分,则就能在集合内找到大于它的数,对于下确界相反;并且上下确界并不一定是此集合中的数;但如集合存在最值,则最值就是确界。