[科技部与你共成长] 大家一起猜数字

教授选出两个从2到9的数(可以相同)，把它们的和告诉学生甲，把它们的积告诉学生乙，让他们轮流猜这两个数

 

      甲说：“我猜不出”

 

　　乙说：“我猜不出”

 

　　甲说：“我猜到了”

 

　　乙说：“我也猜到了”

 

　　问这两个数是多少

 

 

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参考答案： 

　　设两个数为n1，n2，n1> =n2，甲听到的数为n=n1+n2，乙听到的数为m=n1*n2 

　　证明n1=3，n2=4是唯一解 

　　证明：要证以上命题为真，不妨先证n=7 

　　1)必要性： 

　　i) n> 5 是显然的，因为n <4不可能，n=4或者n=5甲都不可能回答不知道 

　　ii) n> 6 因为如果n=6的话，那么甲虽然不知道(不确定2+4还是3+3)但是无论是2，4还是3，3乙都不可能说不知道(m=8或者m=9的话乙说不知道是没有道理的) 

　　iii) n <8 因为如果n> =8的话，就可以将n分解成 n=4+x 和 n=6+(x-2)，那么m可以是4x也可以是6(x-2)而4x=6(x-2)的必要条件是x=6即n=10，那样n又可以分解成8+2，所以总之当n> =8时，n至少可以分解成两种不同的合数之和，这样乙说不知道的时候，甲就没有理由马上说知道。 

　　以上证明了必要性 

　　2)充分性 

　　当n=7时，n可以分解成2+5或3+4 

　　显然2+5不符合题意，舍去，容易判断出3+4符合题意，m=12，证毕 

　　于是得到n=7 m=12 n1=3 n2=4是唯一解。