[笔记]狄利克雷卷积+莫比乌斯反演(未完待咕

前置芝士

调和级数

分析复杂度的时候还是有用的
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数学符号

常见的(<——假的)数学符号和意义

  • \(m \perp n\)：m与n 垂直互质
整除分块

例题

二项式定理

\((x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}*x^{i}*y^{n-i}\)

关于\(gcd\)

说明：\([\)balabala\(]\)等于\(1\)当且仅当balabala成立，否则为0

  • \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x] \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor} \sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor}[gcd(i,j)==1]\)
  • \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}i*j*[gcd(i,j)==x] \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor} \sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor}i*j*[gcd(i,j)==1]*x^{2}\)
  • \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}i*j*[x|gcd(i,j)] \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor} \sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor}i*j*x^{2}\)
  • \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[x|gcd(i,j)] \Leftrightarrow \left \lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor \left \lfloor \frac{m}{x} \right\rfloor\)
  • \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1] \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\)
    ---------------------------------------------\(\Leftrightarrow \sum_{d=1}^{n}\mu(d)*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d|gcd(i,j)]\)
  • 记\(d(x)\)为\(x\)的约数个数：\(d(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]\)，证明见例5

狄利克雷卷积&莫比乌斯反演

从狄利克雷卷积证明莫比乌斯反演
莫比乌斯反演栗子

常见的积性函数
  • \(\epsilon(n)=[n==1]\)，也有写作\(\iota\)的：在卷积意义下相当u于1，对于任意一个\(f,f*\epsilon=f\)
  • \(I(n)=1\)也有写作\(u\)的，在卷积意义下和\(\mu\)互为逆元，即\(\mu * I=\epsilon\)
  • \(id(n)=n\)
一些摘出来的小套路
  • 枚举gcd
  • 当你想降一下时间复杂度时，枚举第二个分块中的某一项再进行处理可能是一个好选择。
栗子

杜教筛

又是一些小套路
栗子

先乱放了

没看过

完了推柿子真是太有趣了，秃并快乐着

posted @ 2019-07-26 09:39  硫氯  阅读(122)  评论(0)  编辑  收藏  举报