二项式定理

二项式定理

• 观察下列各式及其展开式

$$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$$

$$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3y{x}^2+y^3$$

$$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4$$

$$\cdots \cdots$$

• 杨辉三角

$$1$$

$$11$$

$$121$$

$$1331$$

$$\cdots \cdots$$

即:

$$C_0^0$$

$$C_1^0{C}_1^1$$

$$C_2^0{C}_2^1{C}_2^2$$

$$C_3^0{C}_3^1{C}_3^2{C}_3^3$$

$$\cdots \cdots$$

很容易发现，杨辉三角中的第 $n$ 行的每一个数字分别与 $(x+y{)}^n$ 的展开式的每一个单项式的系数对应。

那么，我们很容易猜想

$$(x+y{)}^5=C_5^0·x^5+C_5^1·x^{4}y+C_5^2·x^3{y}^2+C_5^3·x^2{y}^3+C_5^4·x{y}^4+C_5^5·y^5$$

而事实亦然如此。

综上，我们可以得出 二项式定理的公式

$$(x+y{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i·x^{n-i}{y}^i$$

例题

求 $(2x+\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^7$ 的展开式中 $x$ 的系数。

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$$

设 $2x$ 的指数为 $m$ , $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的指数为 n

$$\{\begin{array}{l}m+n=7\\ m-\frac{1}{2}n=1\end{array}$$

解得

$$\{\begin{array}{l}m=3\\ n=4\end{array}$$

易得，展开式中第 $5$ 项单项式即为所求单项式。

$$C_7^4·(2x{)}^3·(\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^4=35·8x^3·\frac{1}{x^2}=280x$$

$\therefore$ 展开式中 $x$ 的系数为 $280$