P1439 【模板】最长公共子序列 （最长不下降序列 （单调队列优化））

题目大意：

洛谷最长公共子序列（其实是最长不下降子序列的模板题）

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解题思路：

只要有一点DP基础，就知道这题肯定是用最长公共子序列的DP来做。
但是我们再看看这数据范围 对于 100% 的数据 $n<=10^5$。由于基础的公共序列DP是用二维数组做的，因此不难发现，如果没有神学优化，一定会愉快超时（时间是 O（$n^2$））。

那么怎么办？

任何所谓困难的题目，都离不开对题意的转换

我们可以通过题目发现，两个数列都是属于同一个全排列里的——说明什么？说明在这两个数列中，数的个数是相同的，而且不会有任何一个数字重复，并且数列A中出现的数 数列B中都会出现——这意味着什么？这意味着我们可以通过一个性质，将这个问题玄学转换！

• 这个性质一般是要见过才能想出来的，所以想不出来这个性质的人不要灰心哈。

重点来了！神学优化来了！

首先我们先设定两个数列：

3 2 1 4 5
1 2 3 4 5
我们可以以第一个数列中的数为基准，将数字按顺序标位 $a、b、c\dots \dots$
然后第一个数列就会变成这样：
a b c d e
3 2 1 4 5 (我是对照表)
然后我们再以第一个数列为基准，如果在第一个数列中3表示a 那么第二个数列中的3也替换为a……以此类推，最后得到的第二个数列是这样的：
c b a d e
1 2 3 4 5 （我是对照表）

通过这样的转换，公共子序列的最长长度当然不会变。
但是，不难发现，因为最开始的转换是由第一种数列来做基础的，所以转换后的数列1一定是一个单调递增的数列。
我发现，如果某个子序列在数列二转换后也是递增的，那么这个子序列肯定是数列一的子序列
就像这样：
c b a d e中a d e是递增的，他们原本代表的数字是:3 4 5，同样，3 4 5正好也是数列一的一个子序列。

发现没有，原本的公共子序列问题经过转换降维，变成了一道最长不下降子序列的模板题！

于是转换代码就是这样的：

void input()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	cin>>num[i];
	  	f[num[i]]=i;  //用一个F数组表示对数列一的转换 
	  }
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	cin>>num[i];  //因为转换后就变成了最长不下降子序列的问题，所以数列一可以不要了，直接覆盖掉 
	  	num[i]=f[num[i]];   //根据数列一的转换，更新数列二的数 
	  }
}

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但是，最长不下降子序列DP的标准复杂度也是O($n^2$)，和公共子序列相差无几。
怎么办呢？这时候我们就要用单调队列的特性对不下降子序列的DP进行优化，有了它，算法复杂度将达到 $O(nlogn)$

$O(nlogn)$的算法关键是它建立了一个数组$b$，$b_i$表示长度为 $i$ 的不下降序列中结尾元素的最小值，用 $len$ 表示数组目前的长度，算法完成后k的值即为最长不下降子序列的长度。

具体点来讲：
不妨假设，当前已求出的长度为$len$，则判断a[i]和b[k]：
如果 $b_{len}\le a_i$，即 $a_i$ 大于长度为$len$的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即$len=len+1$,然后更新 $b_{len}=a_i$；

如果 $b_{len}>a_i$，那么就在 $b_1\dots b_{len}$ 中找到最大的j,使得 $b_j<a_i$，即 $a_i$ 大于长度为j的序列的最后一个元素，显然，$b_{j+1}\ge a_i$， 那么就可以更新长度为$j+1$的序列的最后一个元素，即$b_{j+1}=a_i$。

可以注意到：$b_i$单调递增，很容易理解，长度更长了，$b_{len}$的值是不会减小的，更新数组可以用二分查找，所以算法近于线性，复杂度为 $O(nlogn)$

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我们甚至可以将 $b$ 数组省略掉，直接用 $dp$ 数组来存

所以单调队列优化后的不下降DP是这样的：

void DP()
{
	len++;
	dp[len]=num[len];  //数组中先存下第一个数为基准 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	if(dp[len]<num[i])
	  	  {
	  	    len++;
			dp[len]=num[i];	 //更新dp数组的长度，并改变基准 
		  }
		else
		  {
		  	int t=search(1,len,num[i]);  //由于dp数组是单调队列，所以可以用二分查找搜索位置 
		  	dp[t]=num[i];
		  }
	  }
	cout<<len;
}
}

关于最后的CODE：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,len=0,num[110000];
int dp[110000]={0};
int f[110000]={0};
void input()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	cin>>num[i];
	  	f[num[i]]=i;  //用一个F数组表示对数列的转换 
	  }
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	cin>>num[i]; //因为转换后就变成了最长不下降子序列的问题，所以数列一可以不要了，直接覆盖掉 
	  	num[i]=f[num[i]];   //根据数列一的转换，更新数列二的数 
	  }
}

int search(int l,int r,int x)
{
	int mid,tryy,ans;
	while(l<=r)
	  {
	  	mid=l+(r-l)/2;
	  	tryy=dp[mid];
	  	if(tryy>=x)
	  	  {
	  	    ans=mid;
			r=mid-1;	
		  }
		else l=mid+1;
	  }
	return ans;
}

void DP()
{
	len++;
	dp[len]=num[len];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	if(dp[len]<num[i])
	  	  {
	  	    len++;
			dp[len]=num[i];	
		  }
		else
		  {
		  	int t=search(1,len,num[i]);
		  	dp[t]=num[i];
		  }
	  }
	cout<<len;
}

int main()
{
	input();
	DP();
	return 0;
} 

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总结：

任何问题都离不开转换，任何转换都离不开优化

• 关于上升子序列（LIS）的一些定理：

dilworth定理：不下降子序列的最小划分数等于最长上升子序列的长度

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刷题专区：

黄道十二宫（外网进不去）