SSL 1276 石子合并 （动态规划 01背包）

$$动规永远的基础——01背包问题$$

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题目大意：

你有N个石头，质量分别为W1,W2,W3…WN. (W＜＝100000) 现在需要你将石头分为两堆，使两堆质量的差为最小。

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解题思路：

第一眼看到这道题，你会想起爆搜，它也确实能过，但是我们不那么做，为什么？
因为

搜索是粗暴的咆哮，而DP是自由与骄傲的吟唱

但是，这题怎么用DP做呢？状态是什么？阶段是什么？我们依然一无所知。
其实我们可以这么想，让两堆石头质量差最小，其实就是一个选与不选的过程，这是什么DP？是那个永远的神，拥有变化万千的算法——01背包DP啊！

那01背包到底是什么呢？我们来详细的聊聊……
再看看基础的01背包例题吧~~~

知道了可以用01背包来做，算法中的 物品价值 是什么也知道了，物品质量 是什么也知道了，但背包的容量到底多大啊？题目中的“使两堆质量差值最小”似乎没有明确给出啊！！

观察题目，我们知道了我们要求的是两堆石头的最小差值，那么最小差值的本质是什么？就是其中一堆石头减去另一堆石头的值，也就是说这题实际上就是让我们求其中的一堆石头该怎么安排——思路似乎变明朗了！

如何安排石头让差值最小呢？就是让其中的一堆石头的质量尽量接近所有石头的总质量之和的$\frac{1}{2}$！
有了这个思路，问题得以转换，让选取的变量尽量接近而不超过一个固定的常量，这不就是01背包算法吗？

设 $V$为所有石头的总质量之和。
石头有选与不选两种转态，有一个容量为$\frac{1}{2}$V的背包，如何在不超过容量的情况下装最重的石头
题解看到这里，你就会发现，这就是一道最普通的01背包题。

状态转移方程： $d{p}_v=max(d{p}_v,d{p}_{v-w_i}+a_i)$

也不多说了，重点是将问题层层转换为最原始的状态，只要明白了，任何算法都可以很简单

CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int t=0,m,a[110],w[110],ans;
int dp[1000001];
void input()
{
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	  {
	  	cin>>w[i];  //单个石头质量 
	  	t+=w[i];  //用T表示石头总质量 
	  }
}

void DP()  //标准01背包 DP 代码 
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	  {
	  	for(int j=t/2;j>=w[i];j--)
	  	  {
	  	     dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+w[i]);
	  	     ans=max(ans,dp[j]);
		  }
	  }
	cout<<(t-ans)-ans;  //输出两堆石头的差值 
}

int main()
{
	input();
	DP();
	return 0;
}

总结：

01背包 问题的最大特点就是多变。因此，01背包问题最大的难点，就是你能否将一个 畸形的01背包问题 转换为你所学过的，你所认识的那个样子，将一个最不像01背包的题目，用01背包的做法AC。

只要学会了题目之间的变通，01背包真的很简单。