P1216 ]数字三角形 （踢飞动规，最短路模板题）

题目大意：

洛谷题目传送门

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解题思路：

很经典的一道动规题，各种算法教材都把这道题讲烂了，试问，学过动规的有几个没见过这道题？
虽然我一向很支持也很喜欢动规，但今天，我要一雪前耻，踢飞动规！

观察题目，使路径经过数字的和最大，裸裸的最短路标准提示语？如果不是教材，谁会想到这题要用动规呢？最短路水题啊！

这里简单阐述一下， 什么是最短路。

最短路分为两种，单源最短路和多源最短路。
单源最短路，就是说从一个起点到任一点的单个最短路径。
多源最短路，就是从任一点起点到任一点的多个最短路径。

简单来说，区别就在于对起点的规定，如果要求你每一个点都走一次最短路，有多个起点，那么就可以用多源最短路算法 Floyd 来做。如果只要求一个起点，那么就可以用 SPFA 算法和 Dijkstra 算法来做。

设某张图节点数为 $n$ ，边数为 $m$，那么：
$Floyd$ 算法在多源最短路中的时间复杂度为 $O(n^3)$，速度较慢，但处理多源最短路有良好的效果。

$Dijkstra$ 算法在单源最短路中的时间复杂度 $O(nlog(n+m))$ 速度相对较快，不过由于算法的性质，仅适用于处理只包含正数的最短路，对负数无能为力。

$SPFA$ 算法时间复杂度为 $O(nm)$，比 $Dijkstra$ 稍微逊色，不过代码量短，并且可以处理负数，甚至判负环！

SPFA算法时间复杂度较慢，但是用处广，所以这里大概的讲一下：

设 $u$ 表示当前所在的节点, $s$ 表示当前可以到达的某节点， $a_{u,s}$ 表示从点 $u$ 到点 $s$ 的边权， $di{s}_u$ 表示从起点到 $u$ 的最短路，现在我们要尝试更新 $di{s}_s$ ，找到从起点到 $s$ 的更优路径。
也就是说，如果 $di{s}_u+a_{u,s}<di{s}_s$ 的话，就用 $di{s}_u+a_{u,s}$ 更新 $di{s}_s$ 。
因此有状态转移方程： $di{s}_s=min(di{s}_u+a_{u,s},di{s}_s)$
举一个栗子：
先看一下这张图。

找到一条从节点 2 到节点 3 的最短路径，让我们来模拟一下SPFA算法流程。

初始化 $dis$ 数组，全部设为正无穷。
首先我们知道，直接与节点2相邻的节点有 3，1，因此从节点2出发，尝试更新其他节点的 $dis$
我们尝试从节点2走到节点3，代价为3，比 $di{s}_3$ 所存的代价要小，所以 $di{s}_3=3$，更新 $di{s}_3$。
然后我们再从节点2走到节点1，代价为 -10，比 $di{s}_1$ 小，因此更新 $di{s}_1$。
然后我们从节点1出发，可以去到节点 3，S，4。
尝试从节点1走到节点3，其代价为 $di{s}_1+4$，由于 $di{s}_1=$-10，加上4以后比 $di{s}_3$ 要小，因此用 $di{s}_1+4$ 更新 $di{s}_3$。

在不能走回头路的情况下，很明显，从节点 2 走到节点 3 的最短路径长度是 -6，是按照这个路线走过来的： $2->1->3$
但是，如果题目没有禁止走回头路的话，那么 SPFA算法就错了，因为，在节点 2 和节点1 出现了负数路径，如果我们在 $2->1->2$ 这条路径反复横跳的话，那么路径长度会越来越小，SPFA就会出错。

但是还好，大部分良心题目都不会出现这种毒瘤情况，因为SPFA算法一般卡的是时间（到了那个时候建议用堆优化后的Dijkstra 算法），SPFA还是比较可靠的。（可惜他又死了）

切回正题，这题题目数据不大，行走的方向也只有两种，不会出现反复横跳的情况，因此我们可以考虑用 $SPFA$ 算法（最短路和最长路其实就是一样的）。

用一个队列存起下一次展开探索的节点（标准的广搜思想），在每一次走的时候都尝试更新 $dis$ 数组，并判断松弛后的节点是否在队列中，如果不在则放入队列。

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不一样的CODE：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int R,a,ans=0;
int step[1001][1001];
int pictrue[1001][1001]={0};
struct Gar
{
	int x,y;
	Gar(int xx,int yy):x(xx),y(yy) {}  //X表示行，Y表示列，坐标结构体
};
int spfa(int sx,int sy)
{
	queue<Gar> q;
	bool visit[1001][1001]={false};  //数组判断当前松弛节点是否在队列中
	const int dx[3]={0,-1,-1},dy[3]={0,0,-1};  //事先存好题目中的两大方向
	q.push(Gar(sx,sy));
	step[sx][sy]=pictrue[sx][sy];
	while(!q.empty())
	  {
	  	Gar u=q.front();
	  	q.pop();  //取出节点尝试通过它来松弛
	  	if(u.x==R)
	  	  {
	  	  	ans=max(ans,step[u.x][u.y]);   //如果到底了，存起最优答案
	  	  	continue;
	  	  }
	  	visit[u.x][u.y]=true;  
	  	for(int i=1;i<=2;i++)
	  	  {
	  	  	int nx=u.x-dx[i],ny=u.y-dy[i];
	  	  	if(nx<=0||nx>R||ny<=0||ny>R) continue;   //判断是否超界
	  	  	if(step[nx][ny]<step[u.x][u.y]+pictrue[nx][ny])  //判断是否可以松弛
	  	  	  {
	  	  	  	  step[nx][ny]=step[u.x][u.y]+pictrue[nx][ny];   //STEP就是前文所述的DIS
				  if(!visit[nx][ny]) 
				    {
				    	q.push(Gar(nx,ny));   //如果不在队列就放入队列
				    	visit[nx][ny]=true;
				    }
	  	  	  }
	  	  }
	  }
}
int main()
{
	scanf("%d",&R);
	for(int i=1;i<=R;i++)
      for(int j=1;j<=i;j++)
	    {
	  	  cin>>a;
	  	  pictrue[i][j]=a;
	    }
	memset(step,-1,sizeof(step));  //由于是最大路，因此数组初始为负数
	ans=-1;
	spfa(1,1);
	printf("%d",ans);
	return 0;
} 

总结：

不难看出，由于为了 $dis$ 数组的最优性，一个图每个节点往往不止要访问一次，这就导致了SPFA在遇见稠密图的时候对时间的需求过高，很容易被卡掉 (所以他死了)，在题目允许的情况下应该多避免使用 SPFA，毕竟，大多数最短路径问题都是可以用时间效率更高的 $Dijkstra$ 来做。

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总结的最后：

看到这里，或许有人会吐槽我，为什么一到这么水的题，有简短的DP不用，非得要浪费生命的打一个这么长的最短路代码。您当然可以这么觉得，但是我的博客只是为了更多的C++猿友看到算法的魅力，知道题目不仅仅有固定的配偶，让广大的C++爱好者发现原来算法和题目还能这么串联起来，那么我就不枉打这么多字来写这篇博客了。

能在鄙人这里得到一丁点启发的朋友们，欢迎留下你们的支持！！：）

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