P1282 SSL 1632 多诺米骨牌

题目描述：

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解题思路：

本题使用动态规划来求解。

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个骨牌构成差值为 $j$ 时要旋转骨牌的次数。

若 $a_i$ 为第 $i$ 张骨牌上面的点数，$b_i$ 为第 $i$ 张骨牌下面的点数，则单独考虑第 $i$ 张骨牌的差值为 $a_i-b_i$。考虑骨牌的旋转，下面的值变成上面的了，上面的值变成下面的，那么差值就变成了 $b_i-a_i$。
由此，易得动态转移方程：
$$f_{i,j}=min(f_{i-1,j-(a_i-b_i)},f_{i-1,j-(b_i-a_i)}+1)$$
$j-(a_i-b_i)$ 表示当 $j$ 为 $i$ 张骨牌的差时，第 $i$ 张骨牌不旋转，前 $i-1$ 张骨牌的差。
$j-(b_i-a_i)$ 表示当 $j$ 为 $i$ 张骨牌的差时，第 $i$ 张骨牌旋转，前 $i-1$ 张骨牌的差，翻动次数 $+1$。
由于第 $0$ 张骨牌不需要翻转也能得到最小的差值 $0$，且只能的到差值 $0$，因此 $f_{0,0}=0$。

接下来要做的就是枚举差值，也就是 $j$ 的范围。由于 $n$ 最大为1000，点数最大为 $6$，因此差值的范围只可能是 $-6000$ 到 $6000$。但是，我们仍能对此范围进行优化。若前 $i-1$ 张骨牌的最小差值为 $min$，最大差值为 $max$，则前 $i$ 张骨牌的最小差值只可能达到 $min-abs(a_i-b_i)$，最大差值只可达到 $max+abs(a_i-b_i)$，再 DP 中动态更改 $min$ 和 $max$，可以大大缩小枚举范围。

找一个最小的并且存在的差值 $j$，即为答案。 因为差值计算涉及绝对值，因此 $f_{i,j}$ 和 $f_{i,-j}$ 都有可能被取到，因此需要取一个 $min$。

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CODE:

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,a[1010],b[1010];
int f[1020][12000]={0};
const int M=4000;
int mn,mx;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  cin>>a[i]>>b[i];
	memset(f,0x5f,sizeof(f));   //取一个大数来表示当前差不可能达到
	f[0][M]=0;
	mn=mx=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	int c=mn-abs(a[i]-b[i]),d=mx+abs(a[i]-b[i]);
	  	for(int j=c;j<=d;j++)
	  	  {
	  	  	f[i][j+M]=min(f[i-1][j-(a[i]-b[i])+M],f[i-1][j-(b[i]-a[i])+M]+1);
	  	  	mn=min(mn,j);
	  	  	mx=max(mx,j);
		  }
	  }
	for(int i=0;;i++)
	  if(f[n][M-i]<1600085855||f[n][M+i]<1600085855)
	    {
	    	cout<<min(f[n][M-i],f[n][M+i]);
	    	break;
		}
	return 0;
}