SSL 1653 数字游戏

题目描述：

输入格式：
输入文件的第一行是一个整数$n（1<=n<=2000）$，表示数字个数；第二行一个整数$m（1<=m<=n）$，表示回合数，接下来一行有n个不超过$10000$的正整数，$a1，a2，a3，\cdots ，an$表示原始序列，最后一行有n个不超过$500$的正整数，$b1，b2，b3，\cdots ，bn$，表示每回合每个数字递减的值。

输入样例：
3
3
10 20 30
4 5 6

输出样例：
47

---

解题思路：

首先我们要有一个损失数值的概念。

我们先来思考一下，倘若 $a_i$ 比 $a_j$ 先取走，并且 $b_i<b_j$，那么很显然，经过一轮后 $a_j$ 的值会下降 $b_j$，损失的数值为 $b_j$；若先取走 $a_j$ 再取走 $a_i$，损失数值为 $b_i$，因为 $b_i<b_j$，所以答案更优。

也就是说，$b$ 值越大的数越先取走，我们的损失数值总和会降得越小，答案会更优。因此，我们先将 $b$ 数组由大到小排序，然后在从左到右取 $m$ 个数，即为最优取数方式。

由于 $m\ne n$，因此我们并非所有数都要取，因此需要一个动态规划的策略找到最优解。

设 $f_{i,j}$ 表示在前 $i$ 个数中取 $j$ 个数（即第 $j$ 个回合）所能取到的最大数值。
若不取第 $i$ 个数字，那么这个状态等价于在前 $i-1$ 个数中取 $j$ 个数的最大值。
若取第 $i$ 个数字，那么这个状态等价于在前 $i-1$ 个数中取 $j-1$ 个数的最大值，再加上 第 $i$ 个数第 $j$ 个回合时的数值。
$$f_{i,j}=\max \{\begin{array}{ll}{f}_{i-1,j}& 不选第i个数\\ f_{i-1,j-1}+a_i-b_i\ast (j-1)& 选第i个数\end{array}$$

然后就是重中之重！本人就是在这里栽倒了好多次。状态的初值必须要赋好，否则很容易DP错误！
这题中的初始状态有这些：

1. $f_{i,0}=0i=1\cdots n$
2. $f_{i,1}=\max (a_i)i=1\cdots n$
3. $others为-\infty$

这个状态在空间上还可以优化：$f_{i,j}$ 只能从 $f_{i-1,j}$ 推出来，因此我们可以把第一维省略掉。

---

CODE：

空间优化前：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m;
struct QWQ
{
	int a,b;
} e[2010];
bool cmp(QWQ a,QWQ b)
{
	return a.b>b.b;
}
int f[2001][2001]={0};
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>e[i].a;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>e[i].b;
	sort(e+1,e+1+n,cmp);
	memset(f,-0x7f,sizeof(f));
	f[0][0]=0;
	f[1][1]=e[1].a;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	  f[i][1]=max(f[i-1][1],e[i].a);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	for(int j=2;j<=min(i,m);j++)  //由于j=1的情况上面已经作为初始状态做了，就不能再做一次了，所以从2开始
	  	  {
	  	  	f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+e[i].a-e[i].b*(j-1));
		  }
	  }
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}

空间优化后：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m;
struct QWQ
{
	int a,b;
} e[2010];
bool cmp(QWQ a,QWQ b)
{
	return a.b>b.b;
}
int f[2001]={0};
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>e[i].a;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>e[i].b;
	sort(e+1,e+1+n,cmp);
	memset(f,-0x7f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	f[0]=0;  //任何个数字的第 0 回合都不会取到分数
	  	for(int j=m;j>=1;j--)  //这里为了保证f[j-1]为上一回合的，01背包的倒叙循环同理。
	  	  {
	  	  	f[j]=max(f[j],f[j-1]+e[i].a-e[i].b*(j-1));
		  }
		f[1]=max(f[1],e[i].a);   //任何个数字取一个都是选最大
	  }
	cout<<f[m];
	return 0;
}