P1908 逆序对（归并排序）

题目描述：

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解题思路：

对于这个问题，我们显然能通过冒泡或选择排序来累计交换次数达到所求目的。但很显然，$\Theta (n^2)$ 的排序无法承担 $5\ast 10^5$ 的数据，因此我们需要用到 $\Theta (nlo{g}_n)$ 的归并排序。

归并排序：

首先我们考虑要排序一段 $(l,r)$ 的区间，归并排序需要考虑分裂和合并两个步骤，我们先看看分裂。

如图，对于一个 $(l,r)$ 的区间，归并排序会将这个区间分成两个长度相等的左右区间 $(l,mid)$ 和 $(mid+1,r)$，这样原问题就分解成了等价的两个子问题，然后子问题再进一步分裂，分成更小的问题，知道分成每个区间只有一个元素 $a_i$，为止。此时，当区间长度为 $1$，我们发现区间本身已经是有序的了，因此我们要把这种子区间的有序带到父区间中，也就是合并。

将左右各自有序的区间合并成跟大的区间，这样的话父区间也将有序，然后继续合并，等最后的根区间合并完了，那么 $(l,r)$ 区间就变得有序了。

合并步骤 $\Theta (n)$，分裂是 $\Theta (lo{g}_n)$，归并排序的复杂度就是 $\Theta (nlo{g}_n)$。

这里有必要讲讲 $\Theta (n)$ 合并的过程，如图：

我们需要一个一开始 指向区间 $A$ 头部的指针 $i$ ，还需要一个指向区间 $B$ 头部的指针 $j$，开始考虑比较 $a_i$ 以及 $b_j$，若 $a_i>b_j$ 则将 $b_j$ 插入 $i$ 前，也就是 $i-1$ 的位置，并将 $j$ 指针往后移动一位；若 $a_i<b_j$ 则将 $i$ 指针往后移动一位， 以此往复，区间将成功有序合并。

在程序中我们需要额外的一个数组作为空间存放这个合并后的区间，最后还得把这个数组重新放入区间 $A$ 或 $B$ 。

以下是完整的归并排序代码：

int t[100010]={0}; //额外空间
void msort(int l,int r)
{
	if(l-r==0) return ;
	int mid;
	mid=l+(r-l)/2;
	msort(l,mid);  //左区间排序
	msort(mid+1,r);  //右区间排序
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
	  {
	  	if(a[i]>a[j])
	  	  {
	  	  	t[k]=a[j];
	  	  	j++;
	  	  	k++;
		  }
		else
		  {
		  	t[k]=a[i];
		  	i++;
		  	k++;
		  }
	  }
	while(i<=mid)  //若某一段区间插入完毕了，剩下的直接放进去就行了
	  {
	  	t[k]=a[i];
	  	i++;
	  	k++;
	  }
	while(j<=r)
	  {
	  	t[k]=a[j];
	  	j++;
	  	k++;
	  }
	for(i=l;i<=r;i++)
	  a[i]=t[i];
	return ;
}

那么对于题目中的逆序对个数问题，我们可以找到一些合并过程中 $B$ 区间的数小于 $A$ 区间的数的数对 ，简单推推就能发现，一个包含 $a_i$ 的这样的数对就能带来 $mid-i+1$ 个逆序对。原因也很简单，由于 $A$ 区间中的数是有小到大有序排列的，可知，若 $a_i>b_j$，$i$以后的所有 $a$ 也都必定大于 $b_j$ ，即都是逆序对，个数为 $mid-i+1$。

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CODE:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[500010]={0},t[500010]={0};
long long ans=0;
void msort(int l,int r)
{
	if(l-r==0) return ;
	int mid;
	mid=l+(r-l)/2;
	msort(l,mid);
	msort(mid+1,r);
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
	  {
	  	if(a[i]>a[j])
	  	  {
	  	  	t[k]=a[j];
	  	  	j++;
	  	  	k++;
	  	  	ans+=(mid-i+1);  //统计逆序对
		  }
		else
		  {
		  	t[k]=a[i];
		  	i++;
		  	k++;
		  }
	  }
	while(i<=mid)
	  {
	  	t[k]=a[i];
	  	i++;
	  	k++;
	  }
	while(j<=r)
	  {
	  	t[k]=a[j];
	  	j++;
	  	k++;
	  }
	for(i=l;i<=r;i++)
	  a[i]=t[i];
	return ;
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  cin>>a[i];
	msort(1,n);
	cout<<ans;
	return 0;
}