硬币方案 （背包DP）

题目描述：

给定 $N$ 种硬币，其中第 $i$ 种硬币的面值为 $a_i$，共有 $b_i$ 个。从中选出若干个硬币，把面值相加，若结果为 $s$，则称“面值 $s$ 能被拼成”。求 $1$ 到 $M$ 之间能被拼成的面值有多少个。

输入格式：

输入包含多组测试数据。
每组测试数据第一行包含两个整数 $n$ 和 $M$。
第二行包含2N个整数，分别表示 $a_1\cdots a_n$ 和 $b_1\cdots b_n$。
当输入 $N=0,M=0$ 时，表示输入终止，且该数据无需处理。

输出格式：
每组用例输出一个结果，每个结果占一行。

样例输入：

3 10
1 2 4 2 1 1
2 5
1 4 2 1
0 0

样例输出：
8
4

数据范围：

$1<=N<=1001<=M<=10^{5}1<=a_i<=c_i<=1000$

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解题思路：

判断 $1\cdots M$ 以内有多少个 $S$ ，其实就是判定每个 $S$ 是否可行，考虑用动态规划。

设 $f_i$ 表示这些硬币能否凑出面值为 $i$ 的数，若能 $f_i=true$；否则 $f_i=false$。
由于每个硬币有固定数量，我们当然不能一个硬币无止境的凑。因此设 $cn{t}_{i,j}$ 表示凑成面值为 $i$时，第 $j$ 种硬币最少要多少个。

很显然，若第 $k$ 种硬币能凑出 $i$，那么 $f_{i-a_k}=true$，而 $cn{t}_{i,j}=cn{t}_{i-a_k,j}+1$，由于每个物品可以被多次选，因此 $f_i$ 正序枚举。

可以推出状态转移方程：

$$f_i=\{\begin{array}{ll}true& f_{i-a_k=true\&cn{t}_{i-a_k,j}<b_{j}k=1\cdots n}\\ & \\ false& others\end{array}$$
$$cnt=\{\begin{array}{ll}cn{t}_{i-a_k,j}+1& f_{i-a_k=true\&cn{t}_{i-a_k,j}<b_{j}k=1\cdots n}\\ & \\ 0& ohers\end{array}$$

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CODE：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m,a[110],b[110];
bool f[100010]={false};
int cnt[100010]={0};
int main()
{
	cin>>n>>m;
	while(n!=0||m!=0)
	  {
	  	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	  	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
	  	memset(f,false,sizeof(f));
	  	f[0]=true;
	  	cnt[0]=0;
	  	for(int i=1;i<=n;i++)
	  	  {
	  	  	 memset(cnt,0,sizeof(cnt)); //当场更新 cnt ，可以省掉第二维硬币的种类
	  	     for(int j=a[i];j<=m;j++)
			   {
			   	  if(f[j]==false&&f[j-a[i]]==true&&cnt[j-a[i]]<b[i])
			   	    {
			   	    	f[j]=true;
			   	    	cnt[j]=cnt[j-a[i]]+1;
				    }
			   }	
		  }
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		  if(f[i])
		    ans++;
		cout<<ans<<endl;
	  	cin>>n>>m;
	  }
	return 0;
}