51nod 2650 最短缩减路径 （拆点最短路）

问题描述：

题目传送门

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解题思路：

我们一般会想到先在图上跑一遍最短路，然后在最短路径中找一条最长的边进行缩短。但是很容易可以发现，这种做法是很假的，因为缩短路径可能会使某条非最短路变成最短路。

此时我们需要考虑一种清奇的思路。
构建两张一模一样的图，其中上图 $G$ 表示还未使用路径缩短的图，下图 $G^{\prime }$ 表示已经使用了路径缩短的图，而上下图连接的单向变表示被路径缩短的边。
如图：

这样一来，由于在路径中必然需要使用一次路径缩短，因此我们必然要从上图的起点到达下图的终点，因此我们可以在这种双层图中跑一遍从 $S$ 到 $T^{\prime }$ 的最短路，即为问题的解。
通过这种把情况拆开求解的图，我们既保证了路径缩短的使用，也保证了他仅仅只用一次以及答案的最优性。

此解法运用了拆点的思想，把每一条边的边权拆成 $w$ 和 $w/2$ 的两种状态进行求解，在很多问题甚至扩展域并查集都有用到。

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CODE：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t;
vector<pair<int,int> > g[1010];
int dis[1010];
bool used[1010]={false};
queue<int> q;
void spfa()  //SPFA模板
{
	q.push(s);
	used[s]=true;
	dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	  {
	  	int u=q.front();
	  	q.pop();
	  	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	  	  {
	  	  	if(dis[u]+g[u][i].second<dis[g[u][i].first])
	  	  	  {
	  	  	  	dis[g[u][i].first]=dis[u]+g[u][i].second;
	  	  	  	if(used[g[u][i].first]==false)
	  	  	  	  {
	  	  	  	  	q.push(g[u][i].first);
	  	  	  	  	used[g[u][i].first]=false;
				  }
			  }
		  }
		used[u]=false;
	  }
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	int a,b,c;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	  {
	  	cin>>a>>b>>c;
	  	//1~n 表示 G 图的点，n+1~n+n 表示 G' 图的点
	  	g[a].push_back(make_pair(b,c));  
	  	g[b].push_back(make_pair(a,c));
	  	//构建 G 图
	  	g[a].push_back(make_pair(b+n,c/2));
	  	g[b].push_back(make_pair(a+n,c/2));
	  	//构建 G 图到 G' 图的单向边
	  	g[a+n].push_back(make_pair(b+n,c));
	  	g[b+n].push_back(make_pair(a+n,c));
	  	//构建 G' 图
	  }
	cin>>s>>t;
	if(s==t)
	  {
	  	cout<<0;
	  	return 0;
	  }
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	spfa();
	cout<<dis[t+n];  //输出 G' 图终点
	return 0;
}