What is e^iπ

Toretto·2022-07-10 11:22·50 次阅读

What is e^iπ

欧拉恒等式

曾被选为数学界最优美的公式,欧拉恒等式:

e i π = − 1 \LARGE e^{\mathrm{i}\pi}=-1 eiπ=1

b u t , w h y ? but,why? but,why?


前置知识


复数

我们当然学过复数乘法。

举个例子,对于复数 1.5 + i 1.5+\mathrm{i} 1.5+i 1 + 2 i 1+2\mathrm{i} 1+2i,我们可以利用类似多项式乘法的步骤来计算两个复数的积。

( 1.5 + i ) ( 1 + 2 i ) = 1.5 + 3 i + i − 2 = − 0.5 + 4 i (1.5+\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})\\=1.5+3\mathrm{i}+\mathrm{i}-2\\=-0.5+4\mathrm{i} (1.5+i)(1+2i)=1.5+3i+i2=0.5+4i

当然,如果你喜欢你也可以将乘法的过程用复数的几何性质来实现:(有人称为复数的三角乘法)

构造复平面,在平面上标出 1.5 + i 1.5+\mathrm{i} 1.5+i 1 + 2 i 1+2\mathrm{i} 1+2i
在这里插入图片描述
我们做一个以 0 0 0 1 1 1 1.5 + i 1.5+\mathrm{i} 1.5+i 为顶点的三角形,称它为 1.5 + i 1.5+\mathrm{i} 1.5+i 的三角形。

在这里插入图片描述
1 + 2 i 1+2\mathrm{i} 1+2i 的三角形同理

在这里插入图片描述
现在我们将 1.5 + i 1.5+\mathrm{i} 1.5+i 的三角形位于实轴上的边放置到 1 + 2 i 1+2\mathrm{i} 1+2i 的三角形的斜边上。

在这里插入图片描述
然后将 1.5 + i 1.5+\mathrm{i} 1.5+i 的三角形按比例放大,以至当 1.5 + i 1.5+\mathrm{i} 1.5+i 的三角形的边与 1 + 2 i 1+2\mathrm{i} 1+2i 三角形的斜边契合。

在这里插入图片描述
然后我们就得到了这个复数乘积的位置。

按照这个规则,我们也可以轻松得到某个复数的幂得位置:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

然后我们就可以得到一个普遍规律:

对于一个复数 a + b i a+b\mathrm{i} a+bi

  • 若它的模长大于 1 1 1 ,则它的幂练成的图像是一条发散的螺线。
  • 若它的模长小于 1 1 1 ,则它的幂练成的图像是一条收敛到原点的螺线。
  • 若它的模长等于 1 1 1 ,则它的幂练成的图像是一个半径为 1 1 1 的圆。

e的含义

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \large \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\dfrac{1}{n})^n =e nlim(1+n1)n=e


π?

显然, π \pi π 表示一个圆的圆周除以直径,但是在弧度制中 π \pi π 表示半径为 1 1 1 的半圆的弧长。


正片开始

先不考虑复数,我们考虑 e π e^{\pi} eπ 次方到底是什么。

显然这两个超越数的组合不是那么好求。

我们根据 e e e 的定义,我们可以将 e π e^{\pi} eπ 表示为

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n π \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\dfrac{1}{n})^{n\pi} nlim(1+n1)
转化为

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + π n π ) n π \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\dfrac{\pi}{n\pi})^{n\pi} nlim(1+π)
由于 n n n 可以取任意数,也就是说 n π n\pi 也是任意值,因此可以将 n π n\pi 用变量 m m m 代替,将式子变为

lim ⁡ m → ∞ ( 1 + π m ) m \lim_{m\rightarrow \infty} (1+\dfrac{\pi}{m})^{m} mlim(1+mπ)m
顿时好看多了。我们再转为求 e i π e^{\mathrm{i}\pi} eiπ

lim ⁡ m → ∞ ( 1 + i π m ) m \lim_{m\rightarrow \infty} (1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m})^{m} mlim(1+imπ)m

接下来就变成求一个复数的无穷指数幂了,看起来就觉得它是收敛的,我们逝一下。

观察这个复数 1 + i π m 1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ,我们发现,当 m m m 趋近于无穷时,这个复数就会趋近于 1 1 1。而我们已经知道,若一个复数模长为 1 1 1,则这个复数的任意次幂都是在复平面中的单位圆上的,所以可以认为 e i π e^{\mathrm{i}\pi} eiπ 的值必定是一个模长为 1 1 1 的复数,也就是在单位圆上。

e i π e^{\mathrm{i}{\pi}} eiπ 到底在单位圆的哪个位置呢?我们可以通过复数幂的三角形形式来得到答案。

在这里插入图片描述

看图易联想到,对于任意复数 z = 1 + i π m z=1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m} z=1+imπ,若认为 π m \dfrac{\pi}{m} mπ 非常小,甚至趋近于 0 0 0 ,它的 m m m 次幂即 ( 1 + i π m ) m (1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m})^m (1+imπ)m 在几何意义上都对应着沿着圆弧移动了 π \pi π 的距离。我们都知道单位半圆的弧长为 π \pi π因此对于虚部趋近于 0 0 0,模长趋近于 1 1 1 的复数 1 + i π m 1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ,它的 m m m 次幂 ( 1 + i π m ) m (1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m})^m (1+imπ)m 的几何意义相当于就是从原先的点运动了半个圆。

如图,对于复数 1 + i π 70 1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{70} 1+i70π ,它的虚部 π 70 \dfrac{\pi}{70} 70π 是一个相对较小的数字,视这个复数贴在圆上,忽略掉误差。

从图中可以清晰的看出,若认为复数贴在圆上,复数的指数每增加 1 1 1 ,这个复数都会沿着圆弧逆时针移动 I m ( z ) = π 70 Im(z)=\dfrac{\pi}{70} Im(z)=70π 的距离。也就是说,对于 ( 1 + i π 70 ) 70 (1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{70})^{70} (1+i70π)70,它移动了 70 70 70 次,最后也就是总共沿着圆弧移动了 π 70 ⋅ 70 = π \dfrac{\pi}{70}\cdot 70=\pi 70π70=π 的距离。

回到原命题。由于 m m m 趋近于无穷,所以 π m \dfrac{\pi}{m} mπ 趋近于 0 0 0 ,所以复数 1 + i π m 1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ 无限贴近复数点 1 1 1。又因为 m m m 次幂表示移动半个圆,因此复数 1 + i π m 1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ m m m 次幂即表示为从 1 1 1 点沿着圆弧逆时针运动半个圆,最后得到的结果也就是 − 1 -1 1

所以

e i π = lim ⁡ m → ∞ ( 1 + i π m ) m = − 1 \LARGE e^{\mathrm{i}\pi}=\lim_{m\rightarrow \infty}(1+\mathrm{i}\dfrac{\pi}{m})^m=-1 eiπ=mlim(1+imπ)m=1

这是一个关于欧拉恒等式不那么严谨但是非常直观的几何证明。


参考资料

https://www.bilibili.com/video/BV1Ut411Y7JU?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=8b69a665472a3ad1cedd1301ca1629be

https://www.bilibili.com/video/BV1fx41187tZ?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=8b69a665472a3ad1cedd1301ca1629be

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