[NOIP10.3模拟赛]3.w题解--神奇树形DP

题目链接:

咕

闲扯:

这题考场上把子任务都敲满了,5个namespace,400行11k

结果爆0了哈哈,因为写了个假快读只能读入一位数,所以手测数据都过了,交上去全TLE了

把边分成三类:0. 需要染色的 1. 不需要染色的 2. 染不染色无所谓

考场上首先发现一个性质,就是一定存在一种最优解没有染任何一条本来不需要的染色边。

为啥?其实也挺显然的,因为你染色跨过这条边还得染这条边一次,不如直接只染左右的联通块,这样总路径长度还能更小

但是第三种边的呢?有个子任务就是枚举它染不染。

然后链上的情况就搞了个贪心的做法,如果对于一条第三种情况的边,如果两边的联通块是需要染色的,显然选这条边是更优的.但是注意考虑多条这种边连在一起的情况.

然后树上的版本贪心似乎就GG了

然后晚上盯着毫无注释std和仅有三行的题解,画了一面的草稿纸,终于看懂了...

分析:

首先我们需要假如我们已经有了最优情况的一种边集,怎么求出最小操作次数,其实是边集的点集中度数为奇数的点的个数除以2。为什么?显然最优情况下,每一个奇数度数点恰好是一条操作路径的结尾，由于一条操作路径连接两个点所以除以2

然后对于一个以x为根的子树,如果已经取得了最优解,可以通过分情况考虑更新父亲,显然是具有最优子结构的.于是使用树形DP

定义\(f[x][0/1]\)表示在以x为根的子树中,不染色/染色x与其父亲相连的最优代价

(注意代价是一个二元组\(cost(x,y)\)代表奇数点个数和染色路径总长度,这里比较代价大小根据题意,就不赘述了)

为了分情况转移我们需要求出两个值,\(npt\)是x在x为根的子树中假如x不是任意一条染色路径的端点的最优代价；\(pt\)是x在x为根的子树中假如x是某一条染色路径的端点时的最优代价（注意这里的路径端点都是从子树引出来的路径）

怎么求出\(npt\)和\(pt\)呢?我们可以将所有\(x\)的儿子\(v\)回溯到\(x\)的过程中逐个统计,接下来比较神奇可以借助图像理解

\(npt=min(npt+f[v][0],pt+f[v][1])\)

解释: 画图,若\(v\)到其父亲\(x\)边没有染色,说明原来如果x不是路径端点的话现在还不会是端点;类似的,若\(v\)到父亲\(x\)的边染色了,并且\(x\)此时是一条路径的端点,那么这时候我们可以把路径延长到\(v\)的子树中,这样是解更优并且\(x\)这样就不会是路径端点了

\(pt = min(npt+f[v][1],pt+f[v][0])\)

解释:与上面类似就太懒不想打了,有问题可以luogu或QQ联系我

在考虑DP中\(f\)数组的转移

再强调一下定义:定义\(f[x][0/1]\)表示在以x为根的子树中,不染色/染色x与其父亲相连的最优代价

设\(x\)与其父亲相连的边的属性为\(p\)

首先根据在"闲扯"中的性质以及题意,若\(p=1,f[now][1]=(inf,inf)\);若\(p=0,f[now][0]=(inf,inf)\)

然后现在先考虑\(f[now][0]\),\(f[now][0]=min(npt,cost(pt.x+1,pt.y))\) , 这里的\(cost\)可以理解为\(make\)_\(pair\)

解释:如果\(x\)不是染色路径的端点,而且x到父亲的边也不染色,那么显然代价不变.但是如果\(x\)是某一条路径的端点,那么这时候我们需要加上\(x\)这个点的贡献(它是个端点那肯定是奇数度数)

再考虑\(f[now][1],f[now][1]=min(cost(npt.x+1,npt+1),cost(pt.x,pt.y+1))\)

解释:如果\(x\)不是路径端点,那么\(x\)如果和父亲相连的边染色的需要新开一条路径,所以见上；如果\(x\)是路径端点,那么我们可以把这条路径引上去,x点的贡献就不用计算,只需要让路径长度加1就好了

然后就没了,代码很短但很难想

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <iostream>
#include <vector>
#define ll long long 
#define ri register int 
using std::min;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
    x=c-48;
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=100005;
const int inf=0x7ffffff;
struct Edge{
    int ne,to,w;
}edge[maxn<<1];
int h[maxn],num_edge=1;
inline void add_edge(int f,int to,int x){
    edge[++num_edge].ne=h[f];
    edge[num_edge].to=to;
    edge[num_edge].w=x;
    h[f]=num_edge;
}
struct Dat{
    int x,y;
    Dat(){x=y=inf;}
    Dat(int _x,int _y){x=_x,y=_y;}
    Dat operator +(const Dat &b)const{
        return Dat(x+b.x,y+b.y);
    }
    bool operator <(const Dat &b)const{
        return x==b.x?y<b.y:x<b.x;
    }
}f[maxn][2];
int n;
void dfs(int now,int fa,int t){
    int v;
    Dat npt=Dat(0,0),pt=Dat(inf,inf);//npt--不是路径端点  pt是路径端点
    Dat pa=Dat(0,0),pb=Dat(0,0);
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,now,edge[i].w);
        pa=min(npt+f[v][0],pt+f[v][1]);
        pb=min(npt+f[v][1],pt+f[v][0]);
        npt=pa,pt=pb;
    }
    if(t==1)f[now][0]=Dat(inf,inf);//必须要翻转
    else {
        f[now][0]=min(npt,Dat(pt.x+1,pt.y));
    }
    if(t==0)f[now][1]=Dat(inf,inf);//性质--翻转1边一定更不优
    else {
        f[now][1]=min(Dat(npt.x+1,npt.y+1),Dat(pt.x,pt.y+1));
    }
    return;
}
int main(){
    int x,y,c,d;
    freopen("w.in","r",stdin);
    freopen("w.out","w",stdout);
    read(n);
    for(ri i=1;i<n;i++){
        read(x),read(y),read(c),read(d);
        if(d==2){
            add_edge(x,y,2),add_edge(y,x,2);
        }
        else {
            d=c^d;
            add_edge(x,y,d),add_edge(y,x,d);
        }
    }
    dfs(1,0,0);
    Dat ans=min(f[1][0],f[1][1]);
    printf("%d %d\n",ans.x/2,ans.y);
    return 0;
}