POJ1845Sumdiv题解--约数之和

题目链接

https://cn.vjudge.net/problem/POJ-1845

分析

\(POJ\)里的数学题总是这么妙啊

首先有一个结论就是\(A=\prod{ \ {p_i}^{c_i} \ }\),那么\(A\)所有约数之和为\((1+p_1+p_1^2+..+p_1^{c_1}) * (1+p_2+p_2^2+...+p_2^{c_2}) ... (1+p_n +p_n^2 +... + p_n^{c_n})\)

这个好像数学归纳法可证,但是感性理解一下也不难

于是这道题就是求\(A^B = \prod { \ {p_i}^{B \times c_i} \ }\)的所有约数之和,按上面的式子化为等比数列后就是求\(\prod {(p_i^{b \times c_i+1}-1)} / {(p_i-1) }\)

直接质因数分解后快速幂逆元即可

注意

虽然模数\(9901\)是个质数,但是这个数太小了,如果\(p_i-1\)是\(9901\)的倍数的话显然逆元都不存在了,但此时\(p_i \equiv 1 \mod 9901\),于是上述等比数列求和其实就是\((1+1+1^2+1^3+...+1^{B \times c_i}) \equiv B \times c_i+1\)

真坑啊

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cctype>
#define ll long long 
#define ri register int 
using std::min;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
	x=0;int ne=0;char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
	x=c-48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
	x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn= 100005;
const int inf= 0x7fffffff;
const ll p=9901;
int a,b;
int fac[maxn],cnt=0,ci[maxn];
inline void divide(int n){
	for(ri i=2;i<=n;i++){
		if(n%i)continue;
		fac[++cnt]=i;
		ci[cnt]=1;
		n=n/i;
		while(!(n%i)){n=n/i,ci[cnt]++;}
	}
	if(n>1){fac[++cnt]=n,ci[cnt]=1;}
	return ;
}

int ksm(int x,ll c){
	int ans=1;
	while(c){
		if(c&1)ans=1ll*ans*x%p;
		x=1ll*x*x%p;
		c=c>>1;
	}
	return ans;
}
int main(){
  int x;
	ll ans=1,y;
	read(a),read(b);
	divide(a);
	for(ri i=1;i<=cnt;i++){
		x=fac[i];
		y=ci[i]*b;
		if((x-1)%p==0){
			ans=(y+1)%p*ans%p;
		}
		else{
			ans=(ksm(x,y+1)%p-1+p)*ksm(x-1,p-2)%p*ans%p; 
			//注意+p,不然可能是负的 
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}