luogu1731生日蛋糕题解--恶心剪枝

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1731

分析

这题真[哔]恶心，加了一堆奇奇怪怪的优化

首先明确一点,半径和高都必须是正整数,意味着它们最小为\(1\)

同时我们通过数学公式可以推得:当剩下体积\(v\)一定时，层数越少面积越小,也就是说, 越趋进一个圆柱面积越小.

于是我们可以预处理出搜索到每一层的最小剩余体积\(miv[i]=miv[i-1]+i^3\)

假设我们从下(第m层)往上(第1层)枚举

那么我们可以列出优化:

设定初始\(r​\)范围为\([1,\sqrt{n/m}]​\),\(h​\)范围\([1,n/(m * m)]​\)

同时在\(DFS\)过程中我们枚举\(r\)从上次\(DFS\)的\(pre_r-1\)递减到现在搜索的层数\(now\),再枚举\(h\),则其上限为\(min((left-miv[now-1])/(r * r),pre_h-1)\),\(left\)是还剩下的体积,而下限也为\(now\)

同时还有剪枝

我们可以通过剩余体积\(left\)预估出接下来面积最小值(虽然可能并不能达到)为\(left * 2/pre_r\),如果预估最小值加上当前面积累计值已大于已有的答案,则直接返回;

同时相对于体积,我们已经预处理出每一层最小剩余体积,如果\(miv[now]>left\)则直接返回

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <cmath>
#define ll long long 
#define ri register int 
using std::min;
using std::sqrt;
using std::max;
template <class T>inline void read(T &x){
	x=0;int ne=0;char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
	x=c-48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
	x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=17;
const int inf=0x7fffffff;
int n,m,ans=inf,tmp;
int miv[maxn];
void dfs(int now,int val,int left,int r,int h){
	if(!now){
		if(!left)ans=min(ans,val);
		return;
	}
	if(now<=0||left<=0)return ;
	if(val+(left<<1)/r>ans||miv[now]>left)return;
	for(ri i=r-1;i>=now;i--){
		if(now==m)val=i*i;
		tmp=min(left-miv[now-1]/(i*i),h-1);
		for(ri j=tmp;j>=now;j--){	
			dfs(now-1,val+2*i*j,left-i*i*j,i,j);
		}
	}
	return;
}
int main(){
	read(n),read(m);
	for(ri i=1;i<=m;i++)miv[i]=miv[i-1]+i*i*i;
	int r=(int)sqrt(n/m),h=n/(m*m);
	dfs(m,0,n,r,h);
	if(ans==inf)puts("0");
	else printf("%d\n",ans);
	return 0;
}