CF10D-LCIS题解--线性DP+打印方案
题目链接:
https://www.luogu.org/problemnew/show/CF10D
方法一
分析
\(LCS\)和\(LIS\)已经成烂大街的知识了,可是当这两个合并起来成为\(LCIS\),解决的方式方法也多了起来.
首先有种最朴素的\(O(N^4)\)方法,\(f[i][j]\)表示A串第\(i\)个字母和B串第\(j\)个字母结尾的状态中\(LCIS\)的长度,那么
那么如果\(a[i]==b[j],f[i][j]=max_{0<=k<j且b[k]<a[i](b[j])}(f[i-1][k])+1\)
否则\(f[i][j]=f[i-1][j]\)
但是这种方法怎么打印方案呢?我们用\(path[j][len[j]]\)表示以\(j\)结尾的\(LCIS\)方案,\(len[j]\)指的是以\(j\)结尾的\(LCIS\)长度
这样我们从\(k\)更新到\(j\)时,首先将\(path[k][len[k]]\)全部复制到\(path[j][len[j]]\);
然后\(len[j]=len[k]+1,path[j][len[j]]=b[j]\)
跑时950+ms
代码
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <vector>
#define ll long long
#define ri register int
using std::max;
using std::min;
using std::swap;
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=505;
const int inf=0x7fffffff;
int n,m,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn],len[maxn];
int path[maxn][maxn];
void print(int x){
for(ri i=1;i<=len[x];i++)printf("%d ",path[x][i]);
puts("");
return ;
}
int main(){
int x,y,z;
int ans=-inf,ed=0;
read(n);
for(ri i=1;i<=n;i++){read(a[i]);}
read(m);
for(ri i=1;i<=m;i++){read(b[i]);}
a[0]=b[0]=-inf;
for(ri i=1;i<=n;i++){
for(ri j=1;j<=m;j++){
if(a[i]==b[j]){
for(ri k=0;k<j;k++){
if(b[k]<a[i]){
//f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+1);
if(f[i][j]<f[i-1][k]+1){
f[i][j]=f[i-1][k]+1;
len[j]=len[k]+1;
for(ri p=1;p<=len[k];p++)path[j][p]=path[k][p];
}
}
}
}
else f[i][j]=f[i-1][j];
//ans=max(ans,f[i][j]);
path[j][len[j]]=b[j];
if(ans<f[i][j]){
ans=f[i][j];
ed=j;
}
}
}
printf("%d\n",ans);
print(ed);
return 0;
}
方法二
我们考虑递推时的决策集合,\(f[i][j]\)都是由\(f[i][k](b[k]<a[i])\)递推得到,那么我们如果在从\(f[i][0]\)递推到\(f[i][j]\)时我们已经记录下所有\(f[i][k]\)的最大值设为\(val\),直接将\(f[i][j]\)设为\(max(f[i][j],val+1)\)就好了，打印路径的方法跟方法一类似
这样时间复杂度能少个\(N\)
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define ri register int
#define ull unsigned long long
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=505;
const int inf=0x7ffffff;
int n,m,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn],path[maxn][maxn],len[maxn],ed;
int main(){
read(n);
for(ri i=1;i<=n;i++){
read(a[i]);
}
read(m);
for(ri i=1;i<=m;i++){
read(b[i]);
}
int ans=-inf,val,lst=0;
for(ri i=1;i<=n;i++){
lst=0;
val=f[i-1][0];
for(ri j=1;j<=m;j++){
if(a[i]==b[j]){
if(val+1>f[i][j]){
f[i][j]=val+1;
for(ri k=1;k<=len[lst];k++)path[j][k]=path[lst][k];
len[j]=len[lst]+1;
}
}
else f[i][j]=f[i-1][j];
path[j][len[j]]=b[j];
//ans=max(ans,f[i][j]);
if(f[i][j]>ans){
ans=f[i][j];
ed=j;
}
if(b[j]<a[i]){
//val=max(val,f[i-1][j]);
if(val<f[i-1][j]){
val=f[i-1][j];
lst=j;
}
}
}
}
printf("%d\n",ans);
//printf("%d %d\n",ed,len[ed]);
for(ri i=1;i<=len[ed];i++)printf("%d ",path[ed][i]);
return 0;
}
当然题解中还有\(O(1)\)记录路径的方法,以及\(O(N)\)的空间复杂度方法,这里先挖个坑吧
