学习笔记--数论知识集合

前言

数论在OI中还是比较重要的,这些笔记是在课上匆忙记下的,可能不太美观。

一些约定:在这里整数间除法是向下取整;\((a,b)\)代表\(gcd(a,b)\)

Problems:

小凯的疑惑
\(sol\):构造
\(ax+by = k(a,b >= 0)\) 使其无解
设一组解\(x1 \in [0,b-1] ,y1>=0\)
若\(k>ab-a-b\)
则$y1>(k-a*x1)/b = (ab-a-b-a(b-1))/b $ \(= -1\)
即\(y1>=0\)
故\(k=ab-a-b\)是符合条件的最大值

上帝与集合的正确用法--扩展欧拉定理
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884

屠龙勇士--扩展中国剩余定理

用\(f(i)\)表示有序三元组(a,b,c)个数,使得\(a*b*c=i\),求出\(f(1)\)~\(f(n)\)
$sol: i=\prod {p_i}^{c_i} $ $ f(i)=\prod C^{ci+2}_2$ 使用扩展欧拉筛

数论之神

Algorithms:

• 线性推逆元:
  ​ \(inv[fac[i]] = inv[fac[i+1]]*(i+1)\)
  设\(p=i*k+r\)
  \(i*k+r \equiv 0 \mod p\)
  \(i*k \equiv -r \mod p\)
  \(r^{-1}*k \equiv -i^{-1} \mod p\)
  \(i^{-1} \equiv -p/i*inv[p \% i]\) \(\mod p\)

• 中国剩余定理
  ExCRT(增量法):若m不互质
  $x \equiv a \mod b -> x=kb+a $
  \(x \equiv c \mod d -> kb+a \equiv c \mod d -> kb+pd = c-a\)
  条件\((c-a)|gcd(b,d)\)
  求解后回代即可

• 埃式筛

• 欧拉筛-扩展 (未懂)

• Miller-Rabin(未懂)

  费马小定理&&二次剩余

• Pollard-Rho(未懂)

  生日攻击

• 类欧几里得算法(未懂)
  ​ https://www.cnblogs.com/LLppdd/p/8428349.html

• BSGS&&ExBSGS

Other Things:

1. \(\sum_{i=1}^N {1/i} = O(log N)\)

   • Prove:
     下界 1/2 * log N
     \(\sum_{i=1}^N {1/i} >= 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+...\)
     上界 log N
     $ \sum_{i=1}^N {1/i}<=1+1/2+1/2+1/4+1/4+1/4+1/4+...$

2. \(\sum{1/p} = O(log log N)\)

3. 裴蜀定理: $(a,b)|d $ is equal to \(ua+vb=d(u,v \in Z)\)

4. \(扩展欧几里得Exgcd:\)
   \(a \mod b = a-a/b*b\)
   \(ua+vb = gcd(a,b)\)
   \(u'b+v'(a mod b) = gcd(a,b)\)
   \(u'b+v'(a-a/b*b) = gcd(a,b)\)
   \(v'a+(u'-a/b*v')*b = gcd(a,b)\)
   通解:$x_0=x+t*b/(a,b) $ \(y_0=y-t*a/(a,b)\)

5. \((k,m)=d\) \(且\) \(ka \equiv kb \mod m -> a \equiv b \mod m/d\)
   \(Prove: ka \equiv kb \mod m -> m|(ka-kb) -> m|k(a-b) -> (m/d)|(a-b)\)

6. 简化剩余系

   • 所有\(0<n<=m,(n,m)=1\)的n构成了模m的简化剩余系，简称缩系
     记这样n的个数为$ \phi(m)$

   • 如果\((m,m')=1\),\(a\)取遍模\(m\)缩系,\(a'\)取遍m'缩系
     那么\(am'+a'm\)取遍\(mm'\)缩系

     • Prove: \(已知(a,m)=1,(a',m')=1 , (m,m')=1\)
       \((am',m)=1,(a'm,m')=1\)
       \((am'+a'm,m)=1, (a'm+am',m')=1\) //加上另一个数的若干倍仍互质
       \((am'+a'm,mm')= 1\)
     • 所以如果\((n,m)=1,\phi(nm)=\phi(n) * \phi(m)\)

   • $phi(p^e)=(p-1) * p^{e-1}=pe * (1-1/p) $ p是质数

     • \(Prove: [1,p^e]\)中与p不互质的数的个数为\(p^e/p=p^{e-1}\)
       \(\phi(p^e)=p^e-p^{e-1} =p^e * (1-1/p)\)

   • 计算公式:\(\phi(p)= \prod \phi(p_i^{c_i}) = \prod (p^c_i * (1-1/p_i)) = n* \prod (1-1/p_i)\)

7. 欧拉定理 如果\((a,m)=1,a^{phi(m)} \equiv 1 \mod m\)
   $Prove: $设x取遍m的缩系,则ax取遍m的缩系
   $ \prod x = \prod ax \mod m$
   $\prod x = \prod x *a^{ \phi(m)} \mod m $ //这样的a有phi(m)个
   由于\((x,m)=1\),保证$\prod x $存在模m意义下的逆元
   所以 \(a^{ \phi(m)} \equiv 1 \mod m\)

8. 费马小定理 如果\((a,m)=1\),且m是个质数 $a^{m-1} \equiv 1 \mod m $

9. 扩展欧拉定理 如果$(a,m)!=1 $ 则 \(a^b \equiv a^{min(b,b \% \phi(m)+\phi(m))} \mod m\)

10. 阶
    如果\(gcd(a,m)=1\)那么最小的正整数使得\(a^{x} \equiv 1 \mod m\),x称为a模m的阶
    性质:\(x|\phi(m)\)
    Prove:

11. 原根
    如果g在模m的阶是\(\phi(m)\),那么称g是模m的原根
    性质: 模m意义下的的原根有\(\phi{(\phi{m})}个\)

12. 积性函数
    欧拉函数，莫比乌斯函数，除数函数

13. 狄利克雷卷积
    满足交换律结合律分配律,可用倍增
    \((f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)*g(n/d)\)
    如果f,g是积性函数,f*g也是积性函数
    \(f*e=f\) 单位元:e \(e(1)=1\),其他\(e(i)=0\);

14. 莫比乌斯函数
    \(e(n)=\sum_{d|n}mu(d)\)
    Prove:转化为二项式系数后转化

    ​ 性质: \(e(n)=mu(n)*1\)

15. 莫比乌斯反演
    若\(f(n)=\sum_{d|n} g(d)\)
    则\(g(n)=\sum_{d|n} mu(d) f(n/d)\)
    \(Prove:\)
    \(f = g*1\) \(mu*1 = e\)
    \(f*mu = g*1*mu\)
    \(f*mu = g*e\)
    $g=f*mu $ -> \(g(n)= \sum_{d|n} mu(d) f(n/d)\)