学习笔记--最小环问题
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描述：
给定一行无向图，求图中一个至少包含3个点的环，环上的顶点不重复，并且要求环上的边的长度之和最小，这个问题称之为无向图最小环问题
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算法：
在\(Floyd\)中,我们知道在每个外层K循环结束后,\(f[i][j]\)有着经过编号\(1\)到\(k\)之间的节点的从\(i\)到\(j\)的最短路
那么我们在第\(K+1\)个循环中先枚举起点与终点\(i,j\),寻找经过编号在\(1\)到\(k\)之间的节点的从\(i\)到\(j\)的最小环就好了
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例题:
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代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int inf=999999;
int f[maxn][maxn];
int n,m;
int x,y,z;
int dis[maxn][maxn];
int main(){
while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){
int ans=inf;
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=1;j<=n;j++){
dis[i][j]=f[i][j]=inf;
}
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
f[x][y]=f[y][x]=dis[x][y]=dis[y][x]=min(f[x][y],z);
}
for(register int k=1;k<=n;k++){
for(register int i=1;i<k;i++){
for(register int j=i+1;j<k;j++){
ans=min(ans,dis[i][j]+f[j][k]+f[k][i]);
}
}
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=1;j<=n;j++){
if(i==j)continue;
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
}
}
if(ans==inf)puts("It's impossible.");
else printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
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有向图上的最小环
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Floyd
首先用一次Floyd,然后枚举起点\(1\)到\(i\),同时枚举中转点\(k\),只要求\(min(f[i][k]+f[k][i])\)即可
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Dijsktra----《来自算法竞赛进阶指南》
枚举起点\(s\)从\(1\)到\(n\),求单源最短路径,在一次Dijsktra完成后将\(dis[s]\)设为\(inf\),下一次d[s]再次从堆中取出时就是最小环长度
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特殊地
若题目中已规定了起点，上述loyd照样可用，同时有个更快用Dijsktra解决的方法.
我们正常建图后再对要求的起点建立反向边，进行两次单源最短路径，就得到了起点到其他点的最短路\(dis[]\)和其他点到起点的最短路\(f\_dis[]\)，然后求出\(min(dis[i]+f\_dis[i])\)即可
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例题
注意处理点权
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代码（蒟蒻只有90分）：
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <queue>
#define ll long long
#define ri register int
using namespace std;
const int maxn=205;
const int maxm=300005;
const int inf=0xfffffff;
struct Edge{
int ne,to,dis;
}edge[maxm],_edge[maxm];
int h[maxn],num_edge=0;
int _h[maxn],_num_edge=0;
inline void add_edge(int f,int t,int d){
edge[++num_edge].ne=h[f];
edge[num_edge].to=t;
edge[num_edge].dis=d;
h[f]=num_edge;
}
inline void _add_edge(int f,int t,int d){
_edge[++_num_edge].ne=_h[f];
_edge[_num_edge].to=t;
_edge[_num_edge].dis=d;
_h[f]=_num_edge;
}
int g[maxn];
int n,m;
struct Ele{
int ver,dis;
bool operator <(const Ele &b)const{
return dis>b.dis;
}
Ele(int x,int y){ver=x,dis=y;}
Ele(){ver=dis=0;}
};
template <class T>inline void read(T &x){
x=0;int ne=0;char c;
while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
x=c-48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
x=ne?-x:x;
return ;
}
int dis[maxn],_dis[maxn];
inline void dijsktra(){
priority_queue<Ele>a;
bool vis[maxn];
for(ri i=1;i<=n;i++)dis[i]=inf,vis[i]=0;
dis[1]=g[1];
a.push(Ele(1,0));
while(a.size()){
int u=a.top().ver;
a.pop();
if(vis[u])continue;
vis[u]=1;
for(ri i=h[u];i;i=edge[i].ne){
int v=edge[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+edge[i].dis){
dis[v]=dis[u]+edge[i].dis+g[v];
if(!vis[v])a.push(Ele(v,dis[v]));
}
}
}
// for(ri i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",dis[i]);
return ;
}
inline void _dijsktra(){
priority_queue<Ele>b;
bool vis[maxn];
for(ri i=1;i<=n;i++)_dis[i]=inf,vis[i]=0;
_dis[1]=g[1];
b.push(Ele(1,0));
while(b.size()){
int u=b.top().ver;
b.pop();
if(vis[u])continue;
vis[u]=1;
for(ri i=_h[u];i;i=_edge[i].ne){
int v=_edge[i].to;
if(_dis[v]>_dis[u]+_edge[i].dis){
_dis[v]=_dis[u]+_edge[i].dis+g[v];
if(!vis[v])b.push(Ele(v,_dis[v]));
}
}
}
// for(ri i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",_dis[i]);
return ;
}
inline void solve(){
int mi=inf;
for(ri i=2;i<=n;i++){
if(dis[i]==inf||_dis[i]==inf)continue;
mi=min(mi,dis[i]+_dis[i]-g[1]-g[i]);
}
if(mi!=inf)printf("%d\n",mi);
else puts("-1");
return ;
}
int main(){
int u,v,d;
read(n),read(m);
for(ri i=1;i<=n;i++){
read(g[i]);
}
for(ri i=1;i<=m;i++){
read(u),read(v),read(d);
add_edge(u,v,d);
_add_edge(v,u,d);
}
dijsktra();
_dijsktra();
solve();
return 0;
}
