学习笔记--简化剩余系与欧拉函数φ( )

什么是简化剩余系？

所有 $0<n<=m,(n,m)=1$ 的n构成了模m的简化剩余系，简称缩系

记这样n的个数为 $\phi(m)$

什么是欧拉函数

在数论，对正整数 $n$ ，欧拉函数是小于或等于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数的数目。欧拉函数用希腊字母 $phi()$ 或 $\phi()$ （念fai去声）表示， $phi(n)$ 表示正整数n的欧拉函数。

举个栗子： $[1,12]$ 中与 $12$ 互质的有 $1,5,7,11$ 。
(别忘了， $a$ 与 $b$ 互质表示 $gcd(a,b)=1$ ，故1也算)
所以 $\phi(12)=4$ 。

很显然这个 $\phi(m)$ 就是上文简化剩余系中所提到的

欧拉函数的计算

由上文简化剩余系的性质可知

计算公式: $\phi(p)= \prod \phi(p_i^{c_i}) = \prod (p^c_i * (1-1/p_i)) = n* \prod (1-1/p_i)$

计算方式

直接按照定义

int euler_phi(int n){
	int m=(int)sqrt(n+0.5);
	int ans=n;
	for(register int i=2;i<=m;i++)
		if(n%i==0)
		{//最好要先除后乘，防止结果溢出
		  ans=ans/i*(i-1);   //上文推导得 
		  while(n%i==0)n=n/i;//将n中所有因子i筛去 
		                   //确保下一个i是n的质因子 
		}
	if(n>1)ans=ans/n*(n-1);//防止n为最后一个质因子 
	return ans;
}

例题： hdu 1787裸欧拉函数简单变式

有没有 $O(N)$ 预处理出一张欧拉函数表的方法呢？当然有,在欧拉筛的基础上稍加改动即可，想要看懂代码请您先熟练欧拉筛

这是一个欧拉筛

void Euler_Prime() 
{ 
  memset(is_Prime,1,sizeof(is_Prime));
  memset(pri,0,sizeof(pri)); 
  is_Prime[0]=0;
  is_Prime[1]=0;//特判
   for(register int i=2;i<=n;i++) { 
      if(is_Prime[i]) 
        pri[tot++]=i;   //----1
      for(register int j=0; j<tot && i*pri[j]<=n;j++){ 
         is_Prime[i*pri[j]]=0; 
         if(i%pri[j]==0) break; //-----2
         //-----3
      } 
   }  
}

使用欧拉筛时无非在代码中 $1,2,3$ 处三种情况:

（话说第二条的证明找了挺久，好多人都直接略过，感觉我真的太菜了

判定 $i$ 是一个质数,根据上文性质 $\phi(i)=i-1$
在2处, $\phi(i*pri[j])=\phi(i)*pri[j]$

$Prove:$ 设 $x=pri[j]*i$ ,易知此时 $i$ 包含 $pri[j]$ 这个质因子,即 $i$ 的质因子与 $x$ 的相同,根据欧拉函数的直接计算方式,

$\phi(x)=x* \prod (1-1/p_i)=pri[j]*i* \prod (1-1/p_i)= pri[j]*\phi(i)$
在3处,易知 $i$ 与 $pri[j]$ 互质,根据欧拉函数性质(也是积性函数性质)

$\phi(x) = \phi(i)*\phi(pri[j]) = \phi(i) *(pri[j]-1)$

然后就可以看懂代码了

inline void get_phitable(){
	bool is_pri[maxn];
	int num[1000005],tot=0,tmp;
	memset(is_pri,0,sizeof(is_pri));
	is_pri[1]=1;
	phi[1]=1;
	for(ri i=2;i<=maxn;i++){
	    //printf("%d\n",i);
		if(!is_pri[i]){
			num[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(ri j=1;j<=tot;j++){
			tmp=num[j]*i;
			if(tmp>=maxn)break;
			is_pri[tmp]=1;
			if(i%num[j]==0){
				phi[tmp]=num[j]*phi[i];
				break;
			}
			else {
				phi[tmp]=(num[j]-1)*phi[i];
			}
		}
	}
	return ;
}