学习笔记--简化剩余系与欧拉函数φ( )
什么是简化剩余系？
所有\(0<n<=m,(n,m)=1\)的n构成了模m的简化剩余系，简称缩系
记这样n的个数为$ \phi(m)$
相关性质
-
如果\((m,m')=1\),\(a\)取遍模\(m\)缩系,\(a'\)取遍m'缩系
那么\(am'+a'm\)取遍\(mm'\)缩系
- \(Prove: 已知(a,m)=1,(a',m')=1 , (m,m')=1\)
\((am',m)=1,(a'm,m')=1\)
\((am'+a'm,m)=1,(a'm+am',m')=1\) //加上另一个数的若干倍仍互质
\((am'+a'm,mm')=1\)
- 所以如果\((n,m)=1,\phi(nm)=\phi(n)*\phi(m)\) -
- $\phi(pe)=(p-1)*p=p^e*(1-1/p) $ p是质数
- \(Prove: [1,p^e]中与p不互质的数的个数为p^e/p=p^{e-1}\)
\(\phi(p^e)=p^e-p^{e-1} =p^e*(1-1/p)\) - 特殊地,若\(p\)是一个质数,则\(\phi(p)=p-1\)
- \(Prove: [1,p^e]中与p不互质的数的个数为p^e/p=p^{e-1}\)
- $\phi(pe)=(p-1)*p=p^e*(1-1/p) $ p是质数
什么是欧拉函数
在数论，对正整数\(n\)，欧拉函数是小于或等于\(n\)的数中与\(n\)互质的数的数目。欧拉函数用希腊字母\(phi()\)或\(\phi()\) （念fai去声）表示，\(phi(n)\)表示正整数n的欧拉函数。
举个栗子：\([1,12]\)中与\(12\)互质的有\(1,5,7,11\)。
(别忘了，\(a\)与\(b\)互质表示\(gcd(a,b)=1\)，故1也算)
所以\(\phi(12)=4\)。
很显然这个\(\phi(m)\)就是上文简化剩余系中所提到的
欧拉函数的计算
由上文简化剩余系的性质可知
计算公式:\(\phi(p)= \prod \phi(p_i^{c_i}) = \prod (p^c_i * (1-1/p_i)) = n* \prod (1-1/p_i)\)
计算方式
直接按照定义
int euler_phi(int n){
int m=(int)sqrt(n+0.5);
int ans=n;
for(register int i=2;i<=m;i++)
if(n%i==0)
{//最好要先除后乘，防止结果溢出
ans=ans/i*(i-1); //上文推导得
while(n%i==0)n=n/i;//将n中所有因子i筛去
//确保下一个i是n的质因子
}
if(n>1)ans=ans/n*(n-1);//防止n为最后一个质因子
return ans;
}
例题： hdu 1787裸欧拉函数简单变式
有没有\(O(N)\)预处理出一张欧拉函数表的方法呢？当然有,在欧拉筛的基础上稍加改动即可，想要看懂代码请您先熟练欧拉筛
这是一个欧拉筛
void Euler_Prime()
{
memset(is_Prime,1,sizeof(is_Prime));
memset(pri,0,sizeof(pri));
is_Prime[0]=0;
is_Prime[1]=0;//特判
for(register int i=2;i<=n;i++) {
if(is_Prime[i])
pri[tot++]=i; //----1
for(register int j=0; j<tot && i*pri[j]<=n;j++){
is_Prime[i*pri[j]]=0;
if(i%pri[j]==0) break; //-----2
//-----3
}
}
}
使用欧拉筛时无非在代码中\(1,2,3\)处三种情况:
（话说第二条的证明找了挺久，好多人都直接略过，感觉我真的太菜了
-
判定\(i\)是一个质数,根据上文性质\(\phi(i)=i-1\)
-
在2处,\(\phi(i*pri[j])=\phi(i)*pri[j]\)
\(Prove:\)设\(x=pri[j]*i\),易知此时\(i\)包含\(pri[j]\)这个质因子,即\(i\)的质因子与\(x\)的相同,根据欧拉函数的直接计算方式,
\(\phi(x)=x* \prod (1-1/p_i)=pri[j]*i* \prod (1-1/p_i)= pri[j]*\phi(i)\)
-
在3处,易知\(i\)与\(pri[j]\)互质,根据欧拉函数性质(也是积性函数性质)
\(\phi(x) = \phi(i)*\phi(pri[j]) = \phi(i) *(pri[j]-1)\)
然后就可以看懂代码了
inline void get_phitable(){
bool is_pri[maxn];
int num[1000005],tot=0,tmp;
memset(is_pri,0,sizeof(is_pri));
is_pri[1]=1;
phi[1]=1;
for(ri i=2;i<=maxn;i++){
//printf("%d\n",i);
if(!is_pri[i]){
num[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(ri j=1;j<=tot;j++){
tmp=num[j]*i;
if(tmp>=maxn)break;
is_pri[tmp]=1;
if(i%num[j]==0){
phi[tmp]=num[j]*phi[i];
break;
}
else {
phi[tmp]=(num[j]-1)*phi[i];
}
}
}
return ;
}
