病态问题和条件数

病态问题和条件数

在CV领域大部分问题都是非适定问题（ill-posed problem）。
对于这个“非适定”这一概念，我一直没有探究过。这次看到一篇非常精彩的博客，在这里分享给大家，建议大家查看原文~这里只作笔记，对原文中的错误略有修改。

1. 概念定义

1.1 病态/ 良态问题

病态问题（ill-conditioned problem）：问题的解关于条件非常敏感。条件（或数据）中即使存在极微妙的噪声，也会对问题的解造成剧烈的变化。
反之，关于条件不敏感的问题，我们称之为良态问题（well-conditioned problem）。

显然，我们能把这两个概念拓展至病态/ 良态系统（算法），“条件”即系统的输入，“问题的解”即系统的输出。
举一些例子：

  • 人体体温调控系统是良态的，因为体表温度微小的变化也只会带来微小的体温调控；
  • 汽车动力系统是良态的，因为微踩油门时，汽车动力也只会稍作改变。

再延伸至机器学习算法：

  • 如果一个算法对噪声非常敏感，即病态的，那么其健壮性（robustness）也不佳（健壮性就是说系统抗扰动的能力）。
  • 如果一个算法是过拟合的，那么该算法一定是病态的。

1.2 适定/ 非适定问题

适定问题（ill-posed problem）的定义来源于1903年哈达玛（Hadamard）的演讲：一个问题是适定的，当其满足以下3个条件：

  1. 解存在；
  2. 解是唯一的；
  3. 解连续依赖于输入（解随着初始条件的改变而连续改变）（The solution depends continuously on the input）。

只要不满足其中一个条件，那么该问题就是非适定的（ill-posed）。

注意：（非）适定问题既可以是良态的，也可以是病态的。

1.3 良态/ 病态矩阵和条件数

设有线性方程组\(\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}\)，其中\(\mathbf{A}\)是\(n \times n\)方阵，\(\vec{x}\)和\(\vec{b}\)都是\(n \times 1\)列向量。

假设条件\(\vec{x}\)变化了\(\Delta{\vec{x}}\)，解相应地变化了\(\Delta{\vec{b}}\)，即：

\[\mathbf{A} (\vec{x} + \Delta{\vec{x}}) = \vec{b} + \Delta{\vec{b}} \]

由于\(\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}\)，因此有\(\mathbf{A} \Delta{\vec{x}} = \Delta{\vec{b}}\)。

假设\(\mathbf{A}\)是非奇异矩阵，即\(\mathbf{A}\)为方阵且存在逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)，那么有：

\[\Delta{\vec{x}} = \mathbf{A^{-1}} \cdot \Delta{\vec{b}} \]

两边取范数，根据范数的特性有：

\[\Vert \Delta{\vec{x}} \Vert = \Vert \mathbf{A^{-1}} \cdot \Delta{\vec{b}} \Vert \le \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert \cdot \Vert \Delta{\vec{b}} \Vert \tag{1-1}\]

对\(\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}\)有相同的操作：

\[\Vert \mathbf{A} \vec{x} \Vert = \Vert \vec{b} \Vert \le \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \tag{1-2}\]

结合（1-1）、（1-2）式有：

\[\frac{\Vert \Delta \vec{x} \Vert}{\Vert \vec{x} \Vert} \le \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert \cdot \frac{\Vert \Delta \vec{b} \Vert}{\Vert \vec{b} \Vert} \tag{1-3}\]

有东西！

  • \(\frac{\Vert \Delta \vec{x} \Vert}{\Vert \vec{x} \Vert}\)是初始条件的变化率；
  • \(\frac{\Vert \Delta \vec{b} \Vert}{\Vert \vec{b} \Vert}\)是解的变化率；

虽然是不等号，但系数\(\Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert\)还是有意义的。我们称之为矩阵\(\mathbf{A}\)的条件数（condition number），表示为：

\[k(\mathbf{A}) = \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert \]

式中的范数可以是0范数，无穷范数等，要注意矩阵\(\mathbf{A}\)必须是非奇异矩阵。

由（1-3）可得：

  • 当条件数\(k(\mathbf{A})\)较小时，若初始条件发生较小变化，则解的变化也不大；此时的矩阵\(\mathbf{A}\)就是良态矩阵；
  • 当条件数\(k(\mathbf{A})\)较大时，即使初始条件发生较小变化，解的变化也会很大；此时的矩阵\(\mathbf{A}\)就是病态矩阵。

因此，条件数是用来衡量系统敏感度的指标，可用于判定病态/ 良态矩阵。

回到前面的注，显然，病态/ 良态的概念与非适定/ 适定的概念是不一致的。

条件数不小于1：

\[k(\mathbf{A}) = \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert \ge \Vert \mathbf{A} \mathbf{A^{-1}} \Vert = \Vert \mathbf{I} \Vert = 1 \]

2. 病态的根源

病态矩阵的较大条件数，并非其病态的根本原因。其根源在于矩阵列向量相关性过强。
病态矩阵，实际上是奇异矩阵和近奇异矩阵的另一个说法。

我们举个例子：

\[\mathbf{W} = \begin{bmatrix} 1333 & -131 \\ 331 & -31 \\ \end{bmatrix},\ \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix} \]

解为：

\[\vec{y} = \begin{bmatrix} -120 \\ -13 \\ \end{bmatrix} \]

如果我们对输入条件作微调，则结果会变为：

\[\begin{cases} \begin{split} \vec{x_1} &= \begin{bmatrix} 1.0097 \\ 11.001 \\ \end{bmatrix} \Longrightarrow \vec{y_1} &= \begin{bmatrix} -95.2 \\ -6.82 \\ \end{bmatrix} \\ \vec{x_2} &= \begin{bmatrix} 1.0024 \\ 11.010 \\ \end{bmatrix} \Longrightarrow \vec y_2 &= \begin{bmatrix} -106.11 \\ -9.52 \\ \end{bmatrix} \end{split} \end{cases} \]

可见，解变化的程度远远大于输入条件变化的程度。并且，矩阵\(\mathbf{A}\)的列向量之间相关性极强。

3. 计算条件数的方法

虽然我们有条件数的定义，但当矩阵为病态矩阵时，其中的求逆结果往往会有很大误差。因此通常情况下，我们会使用矩阵的特征值或奇异值来计算条件数。

3.1 与特征值的关系

特征值较大者，变化自由度高，因此会导致解的剧烈变化。这有点类似于病态矩阵的表现。

参见：一篇博文

3.2 与奇异值的关系

通过SVD分解，解的不稳定性也能用矩阵的性质加以解释。参见：一篇博文

3.3 自由数计算方法

若我们取二范数，则条件数为矩阵\(\mathbf{A}\)的最大、最小奇异值之商：

\[k(\mathbf{A}) = \frac{\sigma_{max}{\mathbf{A}}}{\sigma_{min}{\mathbf{A}}} \]

正规阵条件数

当矩阵\(\mathbf{A}\)为正规阵时，条件数为矩阵\(\mathbf{A}\)的最大、最小特征值的绝对值之商：

\[k(\mathbf{A}) = \frac{\vert \lambda_{max}{\mathbf{A}} \vert}{\vert \lambda_{min}{\mathbf{A}} \vert} \]

酉矩阵条件数

当矩阵\(\mathbf{A}\)为酉矩阵时，条件数为1：

\[k(\mathbf{A}) = 1 \]

即当且仅当\(\mathbf{A}\)为酉矩阵时，条件数取得最小值1。

奇异矩阵条件数

当\(\mathbf{A}\)为奇异矩阵时，其逆矩阵不存在：

\[k(\mathbf{A}) \to \infty \]

4. 解释机器学习中的鲁棒性

假设我们要用SGD，用一批\((X,Y)\)样本训练线性模型：

\[\mathbf{W} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{Y} \]

变形：

\[\underbrace{\mathbf{X}}_{A} \cdot \underbrace{\mathbf{Y}^{-1}}_{\vec{x}} = \underbrace{\mathbf{W}^{-1}}_{\vec{b}} \]

由上面所学的知识，若样本\(\mathbf{X}\)中存在大量相关（相似）样本，或矩阵\(\mathbf{X}\)是病态的，那么当标签\(\mathbf{Y}\)中存在噪声时，会导致解\(\mathbf{W}\)出现剧烈波动！

而在实际情况中，我们很难避免数据噪声。因此我们会对样本进行一些预处理，如异常点检测和离群点检测，目的都是为了获得良态的数据矩阵。

5. 病态矩阵规避：正则化（Regularizaiton）

当样本数远小于特征向量维度时，损失函数表示的矩阵往往是稀疏甚至是病态的。

此时我们可以加入正则化项。
正则化项会增加数值解与真实解之间的误差，但增强了稳定性。

参考资料

posted @ 2019-04-25 21:20  RyanXing  阅读(11436)  评论(4)  编辑  收藏  举报