10/6 牛客 2022 tg 第一场

难度？？？

A

细节巨多卡爆常数的二分答案，pass

B

二进制贡献考虑枚举位数，对于一个点，只有他自己和直接儿子可以有贡献， 统计第 $i$ 位上 $1$ 的个数 $cnt$，只有为奇数时有贡献 $2^i$，这样的方案数为 $C_{cnt}^1+C_{cnt}^3+C_{cnt}^5+...$=$2^{cnt-1}$。同时还要考虑其他不相关结点的移动，以及该点上只有一个点（无贡献）的情况，细节一堆。

C

考虑贪心构造，显然我们尽量让 $AB$ 多次交换，把剩下的 $A、B$ 尽量连续放在一起，

枚举 $AB$ 交换了多少次，形如 BBB...BA BBB...BA

考虑填上剩下的 $A$：一个放在开头可以多 $1$ 权值，剩下的在串里的每个 $A$ 后面接上 $a$ 个可获得 $1$ 的权值。

考虑填上剩下的 $B$：一个放在末尾可以多 $1$ 权值，剩下的填充进串里每凑足 $b+1$ 个 $B$ 可获得 $1$ 的权值。

D

《容易看出》这是一个分段函数，形如

我们的目标是维护这个分段函数的两个断点 $L$ 和 $R$。

（转载）

于是可以用线段树维护断点。

先考虑单个操作，$f_{op}(x)$ 表示操作 $op$ 的分段函数，有

$$f_1(x)=x+val,\ \ \ x\in(-\infty,+\infty)\\f_2(x)=\begin{cases}x,&x\in(-\infty,val)\\val,&x\in[val,+\infty)\end{cases}\\f_3(x)=\begin{cases}x,&x\in(val,+\infty)\\val,&x\in(-\infty,val]\end{cases}$$

再考虑如何合并，

若 $f_1$ 后面跟着 $f_2$（避免歧义，将 $f_1$ 中的 $val$ 表示成 $val'$），则

$$f_2(f_1(x))=f_2(x+val')=\begin{cases}x+val',&x+val'\in(-\infty,val)\\val,&x+val'\in[val,+\infty)\end{cases}$$

即

$$f_2(f_1(x))=\begin{cases}x,&x\in(-\infty,val-val')\\val,&x\in[val-val',+\infty)\end{cases}$$

这里根据加上的值，断点位置会改变。跟着 $f_3$ 同理。

若 $f_2$ 后面跟着 $f_1$，则

$$f_1(f_2(x))=\begin{cases}x+val',&x\in(-\infty,val)\\val+val',&x\in[val,+\infty)\end{cases}$$

即直接加 $val'$ 就行了，$f_3$ 同理。

若 $f_2$ 后面跟着 $f_3$（将 $f_3$ 中的 $val$ 表示成 $val'$），则

$$f_3(f_2(x))=\max(\min(x,val),val')=\begin{cases}x,& val'\le x\le val,\\val,& val'\le val\le x\\val',&x\le val'\end{cases}$$

事实上所谓的 $\min$ 和 $\max$，它们的区别只是对初始值限制的范围不同，可以看作同一类型的函数。

综合以上，需要记录的有：断点 $L$ 和 $R$，需要加的数 $sum$，可以写出以下维护代码：

#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
struct node{ll sum,L,R;}tre[N<<2];

void pushup(int p){//左边合并到右边就是把左边的范围丢到右边限制一下
    tre[p].L=max(min(tre[ls].L,tre[rs].R-tre[ls].sum),tre[rs].L-tre[ls].sum);
    tre[p].R=max(min(tre[ls].R,tre[rs].R-tre[ls].sum),tre[rs].L-tre[ls].sum);
    tre[p].sum=tre[ls].sum+tre[rs].sum;
}

void modify(int p,int l,int r,int pos,int op,ll val){
    if(l==r){//限制范围
        if(op==1)tre[p]=(node){val,-inf,inf};
        if(op==2)tre[p]=(node){0,-inf,val};
        if(op==3)tre[p]=(node){0,val,inf};
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(pos<=mid)modify(ls,l,mid,pos,op,val);
    else modify(rs,mid+1,r,pos,op,val);
    pushup(p);
}