【数论】组合数学学习笔记

蒟蒻的组合数学实在是太弱了，所以在初赛之前赶紧来复习一下，大部分内容由 \(OI-Wiki\) 整合而来。

普及知识点标 \(J\)，提高知识点标 \(S\)

加法原理&乘法原理（\(J\)）

加法原理

假设完成一项任务有 \(n\) 种方案，每种方案的办法数目为 \(a_i\)，则完成这项任务的总方法数为 \(a_1+a_2+\cdots+a_n\)。

乘法原理

假设完成一项任务分 \(n\) 个步骤，每种步骤又有 \(a_i\) 个办法，则完成这项任务的总方法数为 \(a_1\times a_2\times\cdots\times a_n\)。

一些排列组合的符号（\(J\)）

排列数

从 \(n\) 个元素中选择 \(m\) 个组成的排列个数（\(n,m\in\mathbb{N},m\leq n\)），用符号 \(A_n^m\) 或 \(P_n^m\) 表示，即

\[A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!} \]

如何理解？假设有 \(n\) 个人，我们要从中选择 \(m\) 个人来排队。对于第一个位置，我们有 \(n\) 个人可以选；因为选掉了一个人，第二个位置就只剩下 \((n-1)\) 个人可以选。依次类推，第 \(m\) 个位置就有 \((n-m+1)\) 个人可以选，根据乘法原理把它们相乘起来就是了。

全排列

即 \(n\) 个元素组成的排列个数：\(A_n^n=n!\)

排列数的递推公式

\[\text{递推边界：}\forall i\in\mathbb{N},A_i^1=1 \]

\[A_n^m=A_n^{m-1}\times(n-m+1) \]

\[\]

组合数

从 \(n\) 个元素中选择 \(m\) 个组成的组合个数（\(n,m\in\mathbb{N},m\leq n\)），用符号 \(C_n^m\) 表示，为了表达方便可以简写成 \(\dbinom{n}{m}\)，即

\[C_n^m=\dfrac{A_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} \]

如何理解？如果我们从 \(n\) 个人中选 \(m\) 个人，如果不在乎顺序，就是 \(C_n^m\)，如果在乎顺序，则选出来的 \(m\) 个人还要再全排，得到 \(A_n^m\)。则

\[A_n^m=C_n^m\times A_m^m=C_n^m\times m! \]

组合数的递推公式

\[\text{递推边界：}\forall i\in\mathbb{N},C_i^0=1 \]

\[C_n^m=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1} \]

如何理解这个递推公式？我们只需要简单的举个例子。我们可以把 \(C_n^m\)
这个方案，分成两个集合：包含 \(1\) 与不包含 \(1\)。

如果不包含 \(1\) 这个数，则我们需要在剩下的 \(2\) 到 \(n\) 这 \((n-1)\) 个数里面选择 \(m\) 个数，即 \(C_{n-1}^{m}\)。

如果包含，则我们需要在剩下的 \(2\) 到 \(n\) 这 \((n-1)\) 个数里面选择 \((m-1) 个数\)，即 \(C_{n-1}^{m-1}\)。根据加法原理把两个集合的方案相加即可。

组合数一些简单的东西

组合数的对称性（\(J\)）

\[\dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{n-m} \]

\(proof:\) 即对选出来的集合对全集取补集，数值不变。

二项式定理（\(S\)）

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}a^{i}b^{n-i} \]

其用组合数阐明了一个展开式的系数，可以用数学归纳法证明，可是窝太菜了不会，只好给出我的非数学归纳法的证明：

首先我们可以把左边的柿子化成

\[\begin{matrix}\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots+(a+b)}\\n\text{个}(a+b)\end{matrix} \]

这个柿子展开后有 \(2^n\) 项，我们要将展开后的柿子合并同类项，最终每一项都形如 \(k\times a^ib^{n-i}\)。我们想知道的就是前面的 \(k\)，那么我们就得出一个问题，对于每一个 \(i\ (0\le i\le n)\)，有多少个 \(a^ib^{n-i}\)，即从 \(n\) 个 \(a\) 中选 \(i\) 个 \(a\) 方案个数（剩下的都是 \(b\) 所以不用管），即 \(\dbinom{n}{i}\)。所以 \(k=\dbinom{n}{i}\)，所以二项式定理成立。

杨辉三角（\(J\)）

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

这是杨辉三角的 \(0\) 至 \(10\) 行，我们会发现第 \(i\) 行第 \(j\) 个数（\(j\) 从 \(0\) 开始）对应着 \((a+b)^i\) 展开式的系数 \(\dbinom{i}{j}\)，第 \(n\) 行 \(m\) 列的数（设为 \(a_{n,m}\)）的递推式为

\[a_{n,m}=a_{n-1,m}+a_{n-1,m-1} \]

由于 \(a_{n,m}=\dbinom{n}{m}\)，可以推出

\[\dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{n}+\dbinom{n-1}{m-1} \]

这同时也证明了组合数的递推式。

组合数的另一个递推式

\[\dbinom{n}{m}=\dfrac{n}{m}\dbinom{n-1}{m-1} \]

\(proof:\)

\[\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}=\dfrac{n}{m}\times\dfrac{(n-1)!}{(m-1)!(n-1-m+1)!}=\dfrac{n}{m}\dbinom{n-1}{m-1} \]

其他一些杂七杂八的东西

\[\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\cdots+\dbinom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}=2^n\qquad\qquad(1) \]

\[\dbinom{n}{0}-\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}-\cdots+(-1)^n\dbinom{n}{n}=[n=0]\qquad\quad(2) \]

\[\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{4}+\cdots=\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{3}+\dbinom{n}{5}+\cdots=2^{n-1}\quad(3) \]

\(proof:\) 当 \(a=b=1\) 时，代入二项式定理可以证明 \((1)\) 式；当 \(a=1,b=-1\) 时，代入二项式定理可证明 \((2)\) 式；\(\frac{(1)\text{式}+(2)\text{式}}{2}\) 可以证明 \((3)\) 式。

一些解题技巧

例题1. 六个人站一排，求

（1）甲不在排头，乙不在排尾的方案数。

（2）在上一小问的前提下，甲乙不相邻的方案数。

可以先思考一下。

解答：

（1）：对于这类题，我们可以用“正难则反”的方法。什么叫正难则反呢？就是对于从正面很难解答的题型，我们从反面来推。

如这道题，我们发现直接硬算很麻烦，我们可以换一种思路：求出六个人的全排列，再减去甲在排头的方案数和乙在排尾的方案数就行了。答案为

\[A_6^6-A_5^5-A_5^5=6!-5!-5!=480 \]

如果您觉得这正确，那就大错特错了，因为甲在排头，并且乙在排尾被多减了一次！根据容斥原理，我们要把多减去的那部分再加回来，所以正确的答案应该是

\[A_6^6-A_5^5-A_5^5+A_4^4=504 \]

（2）： 这里我们用分类讨论的方法，我们分四种情况讨论：

• 甲在排尾，乙在排头：显然，甲乙位置确定中间四个随便排，方案数为 \(A_4^4\)。

• 甲在排尾，乙不在排头：那么乙只有 \(3\) 种选择（不在排头，且不与甲相邻），剩下的四人随便排，方案数为 \(3\times A_4^4\)。

• 甲不在排尾，乙在排头：对称地，方案数为 \(3\times A_4^4\)。

• 甲不在排尾，乙不在排头：我们还可以再分讨：

  • 甲在 \(2\) 号位：那么乙只有两种选法，方案数为 \(2\times A_4^4\)。
  • 甲在 \(3\) 号位：那么乙只有一种选法，方案数为 \(A_4^4\)。
  • 甲在 \(4\)、\(5\) 号位的情况分别于在 \(3\)、\(2\) 号位的情况相同。

综上，总方案数为

\[A_4^4+3\times A_4^4\times 2+2\times A_4^4\times2+A_4^4\times2=312 \]

例题2. 八个人站一排，求

（1）甲乙必须相邻的排列数。

（2）甲乙必须不相邻的排列数。

解答：

（1）：对于这类题，我们可以采用捆绑法，即将甲乙看作一个人，那么就是七个人求全排列，同时甲乙之间是有序的，其内部还需要全排列，所以答案为

\[A_7^7*A_2^2=10080 \]

（2）：这个就很水了，“正难则反”，用八个人的全排列减去甲乙相邻的方案数就行，答案不用我说了。

例题3.

某人射击 \(8\) 枪，命中 \(4\) 枪，恰好有 \(3\) 枪连续命中，有多少种不同情况？

解答：

这题应使用捆绑法解答，把连续的 \(3\) 枪看作一个，但注意是恰好有 \(3\) 枪连续命中，也就是说另外一枪和这三枪不能相邻，如果容斥或者分讨将会非常麻烦，有什么更简单的方法呢？

这里就要使用我们的插空法，有时也叫隔板法。

什么意思呢？我们将没命中的四枪提取出来，

_·_·_·_·_

我们发现，相邻两枪中间都有空位，总共有 \(4+1=5\) 个空位，我们只要将捆绑的 \(3\) 枪和另外一枪插入到这些空位中，不就满足它们不相邻了嘛？由于这几枪都是无序的，所以答案就是 \(C_5^2\)。

例题4.

求不定方程 \(\sum\limits_{i=1}^nx_i=m\) 的正整数解个数。

解答：

这题需要用到隔板法，我们把 \(m\) 想象成 \(m\) 个相同的小球，我们要把这些小球分成 \(n\) 份有多少个方案呢？我们可以在这些小球之间的空位中放入 \((n-1)\) 个隔板（一个空位最多只能放一个隔板），这样就能把这些小球分成 \(n\) 份了。由于两端不能放隔板，所以有 \((m-1)\) 个空位，答案为 \(C_{m-1}^{n-1}\)。

例题5.

求不定方程 \(\sum\limits_{i=1}^nx_i=m\) 的非负整数解个数。

这题看似和上一题一样，但 \(x_i\) 变成了非负整数，也就是说 \(x_i\) 可以为 \(0\)，那这样隔板可以放在一起，这怎么算呢？

令 \(y_i=x_i+1\)，则有 \(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i=m+n\)。我们发现，这里的 \(y_i\) 都是正整数，且每一个 \(y_i\) 的解都对应一个 \(x_i\)，那么我们就很好地转化成了上题，答案即为 \(C_{m+n-1}^{n-1}\)。

组合数学进阶（\(S\)）

卡特兰数

例题：P1044 [NOIP2003 普及组] 栈

定义 \(H_n\) 为卡特兰数的第 \(n\) 项。

亿些递推公式

递推边界： \(H_0=1.\)

\[H_n=\dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1} \]

\[H_n=\dfrac{H_{n-1}(4n-2)}{n+1}\quad\text{线性递推，超好用！！1} \]

\[H_n=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1} \]

\[H_n=\begin{cases}\sum_{i=1}^nH_{i-1}H_{n-i} & n\ge2 \\1 & n=1,0\end{cases} \]

要用到卡特兰数的问题

1. 有 \(2n\) 个人排成一行进入剧场。入场费 \(5\) 元。其中只有 \(n\) 个人有一张 \(5\) 元钞票，另外 \(n\) 人只有 \(10\) 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有 \(10\) 元的人买票，售票处就有 \(5\) 元的钞票找零？

2. 一位大城市的律师在她住所以北 \(n\) 个街区和以东 \(n\) 个街区处工作。每天她走 \(2n\) 个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

3. 在圆上选择 \(2n\) 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 \(n\) 条线段不相交的方法数？

4. 对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数？

5. 一个栈（无穷大）的进栈序列为 \(1,2,3,\cdots,n\)，有多少个不同的出栈序列？

6. \(n\) 个结点可构造多少个不同的二叉树？

7. 将 \(n\) 个 \(+1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 构造成 \(2n\) 项的数列 \(a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\)，满足 \(\forall k\in[1,2n],\sum_{i=1}^k a_i \ge0\) 的方案数为？

第二类斯特林数

不说第一类是因为第一类不常见。

例题：P3904 三只小猪

定义：\(S(n,m)\) （或简写成 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)）表示将 \(n\) 个两两不同的元素，划分为 \(m\) 个互不区分的非空子集的方案数。

递推公式

递推边界 \(S(n,0)=[n=0].\)

\[S(n,m)=S(n-1,m-1)+m\times S(n-1,m) \]

递推式的解释可见我的题解

错排列

例题：P1595 信封问题

定义: \(f(n)\) 表示将 \(n\) 个元素错排（就是第 \(i\) 个元素不能放到第 \(i\) 个位置）的方案数。

递推公式：

递推边界：\(f(0)=0,f(1)=1.\)

\[f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2)) \]

如何理解？对于第 \(n\) 个元素，它肯定不能放在第 \(n\) 个位置，只能放在前面的 \((n-1)\) 个位置上，设 \(k=1,2,\cdots,n-1\)，我们可以把第 \(n\) 个元素放在第 \(k\) 个位置上，而原来第 \(k\) 个位置上的元素有两种选择：

• 交换到第 \(n\) 个位置上，方案数就是对剩下的 \((n-2)\) 个元素错排，即 \(f(n-2)\)。

• 不到第 \(n\) 个位置上，方案数就是除去第 \(n\) 个位置外的 \((n-1)\) 个元素错排，即 \(f(n-1)\)。

对于 \(k\) 有 \((n-1)\) 种取值，总方案数即为 \(f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))\)。

圆排列

定义：\(n\) 个人全部来围成一圈，所有的排列数记为 \(Q_n^n\)。

由于从不同的位置断开会变成不同的队列，有

\[Q_n^n\times n=A_n^n\Rightarrow Q_n^n=\dfrac{A_n^n}{n}=(n-1)! \]

由此可知，从 \(n\) 个人中选 \(m\) 个人来围成一圈的排列数为

\[Q_n^m=\dfrac{A_n^m}{m}=\dfrac{n!}{m\times(n-m)!} \]

容斥原理

直接看 \(oi-wiki\) 吧太多了不想写（

鸽巢原理

也叫抽屉原理，它常被用于证明存在性和求最坏情况下的解。——\(OI-Wiki\)

简单情况

将 \(n+1\) 个元素分成 \(n\) 组，那么至少一组有两个（或以上）个元素。

证明显然。

推广到一般情况

将 \(n\) 个元素分成 \(k\) 组，则至少一组有大于等于 \(\Big\lceil\dfrac{n}{k}\Big\rceil\) 个元素。

反证法证明，假设每组有小于 \(\Big\lceil\dfrac{n}{k}\Big\rceil\) 个元素，则每组最多有 \((\Big\lceil\dfrac{n}{k}\Big\rceil-1)\) 个元素。

\(\because(\Big\lceil\dfrac{n}{k}\Big\rceil-1)\times k=k\Big\lceil\dfrac{n}{k}\Big\rceil-k<k(\dfrac{n}{k}+1)-k=n\).

\(\therefore\) 矛盾.

总结，将 \(n\) 个元素划分成 \(A_1,A_2,\cdots,A_k\) ,\(k\) 个集合，则至少有一个集合 \(A_i\) 满足 \(A_i\ge\Big\lceil\dfrac{n}{k}\Big\rceil\)。

\(Thank\ you\ for\ reading!\)