【DS】线段树分裂&合并学习笔记

大家好哇，我又来学数据结构了。

参考资料：

不分解的氢氧化银

模板题解

前置芝士：

线段树（废话）
动态开点
亿点树上问题基础

线段树合并

顾名思义，我们要把两颗线段树合并在一起，如图

（假设我们要维护的是权值和的信息，维护其他信息只需要稍作更改）

实现起来很简单，我们只需要把对应位置相加起来就行了。

//稍微改了下马蜂（
void merge(int &x,int y) {
    if(!x||!y) x|=y;
    else {
        tre[x].val+=tre[y].val;
        merge(ls(x),ls(y));
        merge(rs(x),rs(y));
    }
}

为了节省空间不开新点，直接将 y 树合并到 x 树上，但这样做的前提是在之后的操作中，y 树不会再出现。因为我们直接合并的话，x 和 y 树是共用一个结点的，如果对其中一棵树有更改，会对另一棵树有影响。因此，如果 y 树合并后还会再出现，建议新开点存合并后的树。

有人问，这两次递归都调用了，时间复杂度不是 \(O(n)\) 的嘛？

不是的，均摊是 \(O(\log n)\)，证法有点玄学，窝不会（

线段树分裂

顾名思义，就是合并反过来操作。线段树的分裂，有按权值分裂和按区间分裂（~~怎么一股 fhq 的味道~~），这里依次讲解。

按权值分裂（按 \(k\) 小分裂）

void split(int x,int &y,int k) {//x为原（子）树，分裂后为前k小的树，y为剩下的树 
    y=++cnt;int val=tre[ls(x)].val;
    if(k>v) split(rs(x),rs(y),k-v);
    else swap(rs(x),rs(y));
    if(k<v) split(ls(x),ls(y),k);
    tre[y].val=tre[x].val-k;
    tre[x].val=k;
}

这里我们分情况讨论：（\(v\) 为左子树的权值/大小）

当 \(v<k\) 时，左子树给 \(x\) 不用处理，直接分裂右子树。
当 \(v\ge k\) 时，右边归 \(y\) ，swap 一下就行。
当 \(v>k\) 时，还需要递归左边。

最后将权值赋值一下就行。

按区间分裂

很简单，像普通线段树一样，把区间剖出来就行了。

inline void pushup(int p) {tre[p].val=tre[ls(p)].val+tre[rs(p)].val;}
int split(int &p,int l,int r,int L,int R) {//l,r为原（子）树区间，L,R为剖出来的区间
    int now=++cnt;
    if(L<=l&&r<=R) {
        tre[now]=tre[p];
        p=0;return now;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid) ls(now)=split(ls(p),l,mid,L,R);
    if(R>mid) rs(now)=split(rs(p),mid+1,r,L,R);
    pushup(p);pushup(now);
    return now;
}

如果原树区间被覆盖，则直接搞出来就行，把原树置为 \(0\)。

否则按普通线段树一样递归，记得更新信息。