【DP 记录】AcWing 734. 能量石

传送门

给你几个物品，每种选一次，求最大价值，首先想到 01 背包，但是我们遇到了一个问题：

普通的 01 背包在选择物品时是不讲求顺序的，但在这道题中，物品的选择是有顺序的（即对最优解贡献有顺序），显然 $O(n!)$ 枚举排列不可取，那我们能否提前确定好顺序，再来做背包呢？

$\bullet\ $ 考虑从贪心解入手

对于贪心解，我们得到一组排列 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ，其中任选相邻的一对 $i$ 和 $j$，我们将其交换位置，所得的新的解一定不增（否则就贪心地选这个顺序了），即它们的总贡献（注：能交换邻项的条件是改变它们顺序不影响其他项的结果）

$$E_i+E_j-S_i\times L_j \geq E_i+E_j-S_j\times L_i$$

消掉一些项，将有关 $i$ 的移到左边，得

$$\frac{S_i}{L_i} \leq \frac{S_j}{L_j}$$

即我们可以按照这样排序，得到最优的顺序来背包。

$\bullet\ $ 如何证明贪心解即为最优解？

对于最优解的排列方式，我们可以将满足 $\frac{S_i}{L_i} > \frac{S_j}{L_j}$ 的相邻两项交换，其解一定不降，所以 贪心解 ≥ 最优解。又因为，贪心解一定是合法解，所以 贪心解 ≤ 最优解，故 贪心解 = 最优解。

new trick: 邻项交换法！

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