【DS】浅谈树状数组倍增

无意中看到的一个小 trick，便记录下来。

引入

给您一个数组，您需要实现以下操作和询问：

$\bullet$ 插入一个数字 $x$。

$\bullet$ 查询排名为 $k$ 的数 $x$。

显然我们有权值线段树或者平衡树的做法。
但是我偏不（傲娇），我们来考虑树状数组怎么做。

树状数组倍增

定义：

$n$：数组大小

$a_i$：离散化后第 $i$ 个数出现的次数

$c_i$：树状数组

思路

插入一个数字就是单点修改啦，考虑询问。

写过平衡树模板的我们肯定知道，一个数 $x$ （离散化后）的排名就是比 $x$ 小的数的个数 $+1$，即 $\operatorname{rank}(x)=(\sum\limits^{x-1}_{i=1}a_i)+1$ 。那么反过来，要查询排名为 $k$ 的数 $x$， 它的位置就是 $\max\limits_{\operatorname{rank}(x)\leq k}x$，我们把它展开来看，即

$$(\sum^{x-1}_{i=1}a_i)+1\leq k$$

$$(\sum^{x-1}_{i=1}a_i)\leq k-1$$

左半部分可以直接树状数组求，我们枚举一个 $r$，那么我们枚举到的符合条件的最大的 $r$ 就是 $(x-1)$，答案即为 $r+1$。

为什么不能直接 $\leq k$？因为有的数可能不存在，例如 $a=\{1,0, 1, 0, 0\}$ ，我们查询排名为 $2$ 的数，按正确的方法答案就是 $3$，如果直接 $\leq k$ 则输出为 $5$。不过有的时候我们会需要这样做，在后文会讲到。

如何求 $r$？显然不能 $O(n\log{n})$，那有没有什么方法能降低枚举复杂度至 $O(\log{n})$ 呢？

废话，看标题不就知道了

具体实现

引理

$$c_i=\sum\limits^{i}_{j=i-lowbit(i)+1}a_i$$

由树状数组的定义知显然。

倍增

我们能不能通过枚举跳 $2^{\log n}, 2^{\log n-1}, ... , 2^1, 2^0$ 的距离去找呢？

代码如下：

int kth(int k){
    int r=0,tot=0,x,y;
    for(int i=log(值域);~i;--i){
        x=r+(1<<i);if(x>值域)continue;
        y=tot+c[x];
        if(y<k)r=x,tot=y;
    }
    return r+1;
}

这里每次 $tot\leftarrow tot+c_{r+2^i}$ 是什么意思呢？根据上面得引理可知，加上 $c_{r+2^i}$ 相当于加上 $\sum\limits^{r+2^i}_{j=r}a_i$，即不断地向后拓展，到最后 $tot$ 的值即为 $\sum\limits^{r}_{i=1}a_i$。

为什么这样就能满足 $r$ 最大？因为我们是从大到小枚举的。

优点 & 缺点

$\bullet$ 优点：常数小，码量小，容易记。

$\bullet$ 缺点：需要离线。

用途

一般用于优化部分需要求 $k$ 小的操作，不作为主要算法。

例题

$\circ$ CF786C Till I Collapse

题意：将 $n$ 个数划分成 $m$ 段使得每中不同数字的个数 $\le k$，对于每个 $k$ 满足 $1\le k \le n$ ，求出最小的 $m$。

考虑对于一个 $k$ 怎么求。我们贪心地尽可能分最大的段，使得段内不同数字个数不大于 $k$，询问区间不同数字的个数，就是数颜色嘛，我们想到 HH 的项链 的做法，但是有点不同：对于 HH 的项链里，我们知道右端点的位置，于是对于每一个数字的贡献都放到尽可能右边；但是这道题里面我们并不知道右端点（而是要求它），所以对于每一个枚举到的左端点的数字，（如果它对答案有贡献）我们计算贡献之后将它的贡献放到下一个出现的位置上就行了。每一次分段询问最远能到达的右端点即可，我们有这样的代码：

void add(int x,int v){while(x<=n)c[x]+=v,x+=lb;}
int kth(int k){
    int r=0,tot=0,x,y;
    ++k;//注意这里 k 要加一
    for(int i=18;~i;--i){
        x=r+(1<<i);if(x>n)continue;
        y=tot+c[x];
        if(y<k)r=x,tot=y;
    }
    return r;//注意这里 r 不用加一
}

for(int l=1,r=0;l<=n;++l){
    if(l==r+1)++ans,r=kth(l);
    add(l,-1),add(nxt[l],1);
}

为什么 $k$ 要加一而 $r$ 不用加一？因为我们计算数字个数的时候，中间可能有一串 $0$，例如：$a=\{1,1, 0, 1, 0, 0, 1, 0\}$，$k=3$。如果是之前的代码的话，返回的答案是 $4$，而实际上能扩展到的最远的右端点是 $6$。我们把 $k$ 加一并且 $r$ 不加一就可避免此问题。

对于 $1$ 到 $n$ 的所有 $k$ 怎么求？我们可以一起求啊！毕竟每个数的贡献仅在数本身，我们对于所有询问的左端点维护个优先队列，然后按照上面的方法计算答案即可。

提交记录

其他练习：

$\circ$ CF1181D Irrigation

$\circ$ Luogu P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士