【DS】浅谈树状数组倍增
无意中看到的一个小 trick，便记录下来。
引入
给您一个数组，您需要实现以下操作和询问：
\(\bullet\) 插入一个数字 \(x\)。
\(\bullet\) 查询排名为 \(k\) 的数 \(x\)。
显然我们有权值线段树或者平衡树的做法。
但是我偏不（傲娇），我们来考虑树状数组怎么做。
树状数组倍增
定义：
\(n\)：数组大小
\(a_i\)：离散化后第 \(i\) 个数出现的次数
\(c_i\)：树状数组
思路
插入一个数字就是单点修改啦，考虑询问。
写过平衡树模板的我们肯定知道，一个数 \(x\) （离散化后）的排名就是比 \(x\) 小的数的个数 \(+1\)，即 \(\operatorname{rank}(x)=(\sum\limits^{x-1}_{i=1}a_i)+1\) 。那么反过来，要查询排名为 \(k\) 的数 \(x\)， 它的位置就是 \(\max\limits_{\operatorname{rank}(x)\leq k}x\)，我们把它展开来看，即
左半部分可以直接树状数组求，我们枚举一个 \(r\)，那么我们枚举到的符合条件的最大的 \(r\) 就是 \((x-1)\)，答案即为 \(r+1\)。
为什么不能直接 \(\leq k\)？因为有的数可能不存在，例如 \(a=\{1,0, 1, 0, 0\}\) ，我们查询排名为 \(2\) 的数，按正确的方法答案就是 \(3\)，如果直接 \(\leq k\) 则输出为 \(5\)。不过有的时候我们会需要这样做，在后文会讲到。
如何求 \(r\)？显然不能 \(O(n\log{n})\)，那有没有什么方法能降低枚举复杂度至 \(O(\log{n})\) 呢？
废话，看标题不就知道了
具体实现
引理
由树状数组的定义知显然。
倍增
我们能不能通过枚举跳 \(2^{\log n}, 2^{\log n-1}, ... , 2^1, 2^0\) 的距离去找呢？
代码如下：
int kth(int k){
int r=0,tot=0,x,y;
for(int i=log(值域);~i;--i){
x=r+(1<<i);if(x>值域)continue;
y=tot+c[x];
if(y<k)r=x,tot=y;
}
return r+1;
}
这里每次 \(tot\leftarrow tot+c_{r+2^i}\) 是什么意思呢？根据上面得引理可知，加上 \(c_{r+2^i}\) 相当于加上 $ \sum\limits^{r+2^i}_{j=r}a_i $，即不断地向后拓展，到最后 \(tot\) 的值即为 \(\sum\limits^{r}_{i=1}a_i\)。
为什么这样就能满足 \(r\) 最大？因为我们是从大到小枚举的。
优点 & 缺点
\(\bullet\) 优点：常数小，码量小，容易记。
\(\bullet\) 缺点：需要离线。
用途
一般用于优化部分需要求 \(k\) 小的操作，不作为主要算法。
例题
\(\circ\) CF786C Till I Collapse
题意：将 \(n\) 个数划分成 \(m\) 段使得每中不同数字的个数 \(\le k\)，对于每个 \(k\) 满足 \(1\le k \le n\) ，求出最小的 \(m\)。
考虑对于一个 \(k\) 怎么求。我们贪心地尽可能分最大的段，使得段内不同数字个数不大于 \(k\)，询问区间不同数字的个数，就是数颜色嘛，我们想到 HH 的项链 的做法，但是有点不同：对于 HH 的项链里，我们知道右端点的位置，于是对于每一个数字的贡献都放到尽可能右边；但是这道题里面我们并不知道右端点（而是要求它），所以对于每一个枚举到的左端点的数字，（如果它对答案有贡献）我们计算贡献之后将它的贡献放到下一个出现的位置上就行了。每一次分段询问最远能到达的右端点即可，我们有这样的代码：
void add(int x,int v){while(x<=n)c[x]+=v,x+=lb;}
int kth(int k){
int r=0,tot=0,x,y;
++k;//注意这里 k 要加一
for(int i=18;~i;--i){
x=r+(1<<i);if(x>n)continue;
y=tot+c[x];
if(y<k)r=x,tot=y;
}
return r;//注意这里 r 不用加一
}
for(int l=1,r=0;l<=n;++l){
if(l==r+1)++ans,r=kth(l);
add(l,-1),add(nxt[l],1);
}
为什么 \(k\) 要加一而 \(r\) 不用加一？因为我们计算数字个数的时候，中间可能有一串 \(0\)，例如：\(a=\{1,1, 0, 1, 0, 0, 1, 0\}\)，\(k=3\)。如果是之前的代码的话，返回的答案是 \(4\)，而实际上能扩展到的最远的右端点是 \(6\)。我们把 \(k\) 加一并且 \(r\) 不加一就可避免此问题。
对于 \(1\) 到 \(n\) 的所有 \(k\) 怎么求？我们可以一起求啊！毕竟每个数的贡献仅在数本身，我们对于所有询问的左端点维护个优先队列，然后按照上面的方法计算答案即可。
其他练习：
\(\circ\) CF1181D Irrigation
\(\circ\) Luogu P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士
