AT_past202107_l 题解

Solution

题目来源：AT_past202107_l（in AtCoder | in luogu）

用线段树维护区间最小值。单点修改很好写，我们看怎么区间寻找最小值位置。

对于每次询问，我们先求出所查询区间 $[x_{i}, y_{i}]$ 的最小值 $p$ ，然后写一个寻找函数。对于当前区间 $[l, r]$ ，分以下情况来看：

如果当前区间长度 $> 1$ 、并且并不包含在所查询区间内（即 $l < x_{i}$ 或 $r > y_{i}$ ），我们像正常线段树一样递归查找其在所查询区间内的左右子区间。
如果当前区间长度 $> 1$ 、并且在查询区间内（即 $x_{i} \leq l$ 且 $r \leq y_{i}$ ），则该区间的最小值至少为 $p$ 。我们递归寻找其最小值为 $p$ 的左右子区间即可。
如果当前区间长度恰为 $1$ ，则若当前位置的数是 $p$ ，则该位置为答案，统计起来。

这部分代码如下：

void fnd(int l, int r, int k, int L, int R, ll x) {
    if(l == r) {
        if(minn[k] == x) v.push_back(l);
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(L <= l && r <= R) {
        if(minn[ls(k)] == x) fnd(l, mid, ls(k), L, R, x);
        if(minn[rs(k)] == x) fnd(mid + 1, r, rs(k), L, R, x); 
        return;
    }
    if(L <= mid) fnd(l, mid, ls(k), L, R, x);
    if(mid < R) fnd(mid + 1, r, rs(k), L, R, x);
}

为啥情况 $3$ 要加粗「当前位置的数是 $p$ 」呢？我们可以发现，存在查询区间 $[x_{i}, y_{i}]$ 与当前区间 $[l, r]$ 仅交于一个数的情况。这样递归下去会发现，我们最后递归到了那个相交的位置，但这个位置却不一定是 $p$ 。所以我们要特判一下。

不过这个递归过程还是有点麻烦了，可以参考 @SamHH0902 的实现方式。虽然我感觉我的更好想一点。

建议参考代码理解。code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ls(a) ((a) << 1)
#define rs(a) ((a) << 1 | 1)
using namespace std;

#define ll long long
#define INF 2e9
const int N = 200010;
int n, q;
ll a[N];
ll minn[N * 4];
vector<ll> v;

void pushup(int k) {
    minn[k] = min(minn[ls(k)], minn[rs(k)]);
}

void build(int l, int r, int k) {
    minn[k] = INF;
    if(l == r) {
        minn[k] = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(l, mid, ls(k)), build(mid + 1, r, rs(k));
    pushup(k);
}

void upd(int l, int r, int k, int x, ll c) {
    if(l == r) {
        minn[k] = c;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(x <= mid) upd(l, mid, ls(k), x, c);
    else upd(mid + 1, r, rs(k), x, c);
    pushup(k);
}

ll query(int l, int r, int k, int L, int R) {
    if(L <= l && r <= R) {
        return minn[k];
    }
    int mid = (l + r) >> 1; ll res = INF;
    if(L <= mid) res = min(res, query(l, mid, ls(k), L, R));
    if(mid < R) res = min(res, query(mid + 1, r, rs(k), L, R));
    return res;
}

void fnd(int l, int r, int k, int L, int R, ll x) {
    if(l == r) {
        if(minn[k] == x) v.push_back(l);
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(L <= l && r <= R) {
        if(minn[ls(k)] == x) fnd(l, mid, ls(k), L, R, x);
        if(minn[rs(k)] == x) fnd(mid + 1, r, rs(k), L, R, x); 
        return;
    }
    if(L <= mid) fnd(l, mid, ls(k), L, R, x);
    if(mid < R) fnd(mid + 1, r, rs(k), L, R, x);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    build(1, n, 1);
    while(q--) {
        int op; scanf("%d", &op);
        if(op == 1) {
            int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
            upd(1, n, 1, x, y);
        } else {
            int l, r; scanf("%d%d", &l, &r);
            v.clear();
            ll m = query(1, n, 1, l, r);
            fnd(1, n, 1, l, r, m);
            sort(v.begin(), v.end());
            v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
            printf("%d ", (int) v.size());
            for (int i = 0; i < (int)v.size(); i++) printf("%lld ", v[i]);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}