ABC334F 题解

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线段树优化 dp？线段树优化 dp！

Solution

题目来源：ABC334F（in 洛谷 | in AtCoder）题目大意很清晰就不讲了。

我们发现礼物是固定从 $1 \sim n$ 房间送的，唯一要分讨的地方就是什么时候要回去拿礼物。所以很容易想到二维 dp。

定义 $f_{i, j}$ 表示圣诞老人从起点出发，到拿着 $j$ 个礼物去 $i$ 号房间后送出一个所用最短距离。

首先当 $j \neq k$ 即礼物没有装满时，直接从上个房间过来更优。所以有 $f_{i, j} = f_{i - 1, j + 1} + Dis (i - 1, i) (j < k)$ 。其中 $Dis (i, j)$ 表示 $i$ 号房间和 $j$ 号房间之间的距离。

现在考虑 $j = k$ 的情况。当我们想拿着最多的礼物去到 $i$ 号房间时，因为去上一个房间已经用了一个礼物，所以我们不得不回家一趟去把礼物装满。我们在 $f_{i - 1, (j \in [1, k])}$ 中选一个已耗距离最小的状态，在那个状态的基础上回家拿礼物，再送往当前房间即可。

那么就有了状态转移方程：

f_{i, j} = {\begin{matrix} f_{i - 1, j + 1} + Dis (i - 1, i), j < k \\ {min}_{j = 1}^{k} f_{i - 1, j} + Dis (i - 1, 0), j = k \end{matrix}

其中 $0$ 号点是家。边界条件是 $f_{1, k} = Dis (1, 0)$ 。

可是这个 dp 是 $O (n^{2})$ 的，显然无法通过本题。考虑优化。先观察 dp 过程，我们可以发现： $f_{i, 1 \sim k - 1}$ 完全可以由 $f_{i - 1, 2 \sim k}$ 整体区间加实现，需要特殊对待的 $f_{i, k}$ 也只需要由 $f_{i - 1, 1 \sim k}$ 。求区间最小值实现。

那么我们就可以只维护一个一维数组 $D$ 的一段长度为 $k$ 的窗口。一开始一维数组最左边只有一个元素 $D_{i} = Dis (1, 0)$ 。每次，我们在数组最右端（记为 $r + 1$ ）加上 ${min}_{i = max (1, r - k + 1)}^{r} D_{i}$ ，然后对区间 $[r - k + 1, r]$ 进行一个区间的加。这样更新操作与跑 $O (n^{2})$ 的 dp 是完全等价的。