「$\mathcal{Darkbzoj}$」神犇和蒟蒻

题目描述

很久很久以前，有一只神犇叫 \(yzy\)

很久很久之后，有一只蒟蒻叫 \(lty\)

输入格式

请你读入一个整数 \(N,1\leq N\leq 10^9\)

输出格式

请你输出一个整数 \(A,B\)，模 \(10^9+7\)

\[\begin{aligned} A&=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}\\ B&=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)} \end{aligned} \]

输入输出样例

输入

1

输出

1
1

题解

首先根据 \(\mu\) 函数的性质，容易得到，第一个式子中，只有 \(i=1\) 时才会对答案贡献 \(1\)，其他项都是 \(0\)，所有第一个答案永远是 \(1\)

然后考虑如何求 \(B\)，首先根据 \(\varphi\) 函数的性质可以得到

\[\varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))} \]

那么原式子可以转化为

\[\sum_{i=1}^N{\varphi (i)i} \]

这个可以套用杜教筛去做，具体证明见杜教筛

代码

#include <cstdio>
#include <unordered_map>

typedef long long ll;

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7, inv = 166666668;

inline int addmod (register int a, register int b) {
	return a += b, a >= mod ? a - mod : a;
}

inline int delmod (register int a, register int b) {
	return a -= b, a < 0 ? a + mod : a;
}

inline ll mulmod (register ll a, register int b) {
	return a *= b, a >= mod ? a % mod : a;
}

int n, cnt;
int prime[3000005], phi[3000005], sum[3000005];
bool vis[3000005];
unordered_map <int, int> f;

inline void xxs () {
	phi[1] = sum[1] = 1;
	for (register int i = 2; i <= 3e6; i ++) {
		if (! vis[i]) prime[++ cnt] = i, phi[i] = i - 1;
		for (register int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 3e6; j ++) {
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) {
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
		}
		sum[i] = addmod (sum[i - 1], mulmod (phi[i], i));
	}	
}

inline int Getsum (register int l, register int r) {
	return 1ll * (l + r) * (r - l + 1) / 2 % mod;
}

inline int Getsum2 (register int n) {
	return mulmod (mulmod (mulmod (n, n + 1), 2 * n + 1), inv);
}

inline int F (register int n) {
	if (n <= 3e6) return sum[n];
	if (f[n]) return f[n];
	register int ans = Getsum2 (n);
	for (register int l = 2, r; l <= n; l = r + 1)
		r = n / (n / l), ans = delmod (ans, mulmod (Getsum (l, r), F (n / l)));
	return f[n] = ans;
}

int main () {
	scanf ("%d", &n), xxs (), printf ("1\n%d\n", F (n));
	return 0;
}