「NOI2018」屠龙勇士
题目描述
小 D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：
-
游戏的目标是按照编号 \(1 \rightarrow n\) 顺序杀掉 \(n\) 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 \(a_i\) 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 \(p_i\) ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值恰好为 \(0\) 时它才会死去。
-
游戏开始时玩家拥有 \(m\) 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。
小 D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得 ION2018 的参赛资格，于是小 D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：
-
每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择攻击力最低的一把剑作为武器。
-
机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的 \(x\) 次，使巨龙的生命值减少 \(x \times ATK\) 。
-
之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复 \(p_i\) 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为 \(0\) ，则巨龙死亡，玩家通过本关。
那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数 \(x\) 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？
当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出 \(-1\) 即可。
输入格式
第一行一个整数 \(T\)，代表数据组数。
接下来 \(T\) 组数据，每组数据包含 \(5\) 行。
-
每组数据的第一行包含两个整数，\(n\) 和 \(m\)，代表巨龙的数量和初始剑的数量；
-
接下来一行包含 \(n\) 个正整数，第 \(i\) 个数表示第 \(i\) 条巨龙的初始生命值 \(a_i\)；
-
接下来一行包含 \(n\) 个正整数，第 \(i\) 个数表示第 \(i\) 条巨龙的恢复能力 \(p_i\)；
-
接下来一行包含 \(n\) 个正整数，第 \(i\) 个数表示杀死第 \(i\) 条巨龙后奖励的剑的攻击力；
-
接下来一行包含 \(m\) 个正整数，表示初始拥有的 \(m\) 把剑的攻击力。
输出格式
一共 \(T\) 行。
第 \(i\) 行一个整数，表示对于第 \(i\) 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数 \(x\)，如果答案不存在，输出 \(-1\) 。
输入输出样例
输入
2
3 3
3 5 7
4 6 10
7 3 9
1 9 1000
3 2
3 5 6
4 8 7
1 1 1
1 1
输出
59
-1
说明/提示
更多样例
更多样例请在附加文件中下载。
样例 2
见附加文件中的 dragon2.in 与 dragon2.ans。
样例 1 解释
第一组数据：
-
开始时拥有的剑的攻击力为 \(\{1,9,10\}\)，第 \(1\) 条龙生命值为 \(3\)，故选择攻击力为 \(1\) 的剑，攻击 \(59\) 次，造成 \(59\) 点伤害，此时龙的生命值为 \(-56\)，恢复 \(14\) 次后生命值恰好为 \(0\)，死亡。
-
攻击力为 \(1\) 的剑消失，拾取一把攻击力为 \(7\) 的剑，此时拥有的剑的攻击力为 \(\{7,9,10\}\)，第 \(2\) 条龙生命值为 \(5\)，故选择攻击力为 \(7\) 的剑，攻击 \(59\) 次，造成 \(413\) 点伤害，此时龙的生命值为 \(-408\)，恢复 \(68\) 次后生命值恰好为 \(0\)，死亡。
-
此时拥有的剑的攻击力为 \(\{3,9,10\}\)，第 \(3\) 条龙生命值为 \(7\)，故选择攻击力为 \(3\) 的剑，攻击 \(59\) 次，造成 \(177\) 点伤害，此时龙的生命值为 \(-170\)，恢复 \(17\) 次后生命值恰好为 \(0\)，死亡。
-
没有比 \(59\) 次更少的通关方法，故答案为 \(59\) 。
第二组数据：
- 不存在既能杀死第一条龙又能杀死第二条龙的方法，故无法通关，输出 \(-1\) 。
子任务
| 测试点编号 | \(n\) | \(m\) | \(p_i\) | \(a_i\) | 攻击力 | 其他限制 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\le 10^5\) | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^5\) | \(=1\) | 无 |
| 2 | \(\le 10^5\) | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^5\) | \(=1\) | 无 |
| 3 | \(\le 10^5\) | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 无 |
| 4 | \(\le 10^5\) | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 无 |
| 5 | \(\le 10^3\) | \(\le 10^3\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 特性 1、特性 2 |
| 6 | \(\le 10^3\) | \(\le 10^3\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 特性 1、特性 2 |
| 7 | \(\le 10^3\) | \(\le 10^3\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 特性 1、特性 2 |
| 8 | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 9 | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 10 | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 11 | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 12 | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 13 | \(=1\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 14 | \(=10^5\) | \(=10^5\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 无特殊限制 |
| 15 | \(=10^5\) | \(=10^5\) | \(=1\) | \(\le 10^8\) | \(\le 10^6\) | 无特殊限制 |
| 16 | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 所有 \(p_i\) 是质数 | \(\le 10^{12}\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 17 | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 所有 \(p_i\)是质数 | \(\le 10^{12}\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 18 | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 无特殊限制 | \(\le 10^{12}\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 19 | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 无特殊限制 | \(\le 10^{12}\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
| 20 | \(\le 10^5\) | \(\le 10^5\) | 无特殊限制 | \(\le 10^{12}\) | \(\le 10^6\) | 特性 1 |
特性 1 是指：对于任意的 \(i\)，\(a_i \le p_i\) 。
特性 2 是指：\(\operatorname{lcm}(p_i) \le 10^6\)，即所有 \(p_i\) 的最小公倍数不大于 \(10^6\) 。
对于所有的测试点，\(T \le 5\)，所有武器的攻击力 \(\le 10^6\)，所有 \(p_i\) 的最小公倍数 \(\le 10^{12}\) 。
保证 \(T, n, m\) 均为正整数。
提示
你所用到的中间结果可能很大，注意保存中间结果的变量类型。
附件下载
题解
首先很容易将题意转化为
给定若干个如下式的不定方程，解出最小解 \(x\)
\[ATK_i\times x\equiv a_i \mod p_i \]
对于单个不定方程，我们可以化简一下
为什么化简？
如果 \(\gcd (ATK_i,p_i) \neq 1\)，会发现，可以解出 \(\gcd (ATK_i,p_i)\) 个解使得这个不定方程成立
但是我们最后要求解的是一个不定方程组，无法得知取那个解是正确的，所以两边同除 \(\gcd (ATK_i,p_i)\)，使得不定方程解出一个解，从而利于不定方程组的求解
然后用 \(ExGCD\) 来求解，化成若干个同余方程的形式，最后 \(ExCRT\) 合并一下就好了
但是上述做法并不能处理 \(p_i=1\) 的情况，所以要特判一下，其实就是 \(\max \{\frac{a_i}{ATK_i}\}\)，注意上取整
作为 \(NOI\; 2018\) 的签到题，还是挺水的吧
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;
inline ll read () {
register ll x = 0, w = 1;
register char ch = getchar ();
for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
return x * w;
}
inline void write (register int x) {
if (x / 10) write (x / 10);
putchar (x % 10 + '0');
}
int T, n, m;
bool ALLONE = 1;
vector <int> vec;
ll maxx, a[maxn], b[maxn], c[maxn], p[maxn], atk[maxn];
inline ll Mul (register ll a, register ll b, register ll mod) {
register ll tmp = (long double) a / mod * b, res = (ull) a * b - (ull) tmp * mod;
return (res % mod + mod) % mod;
}
inline ll ExGCD (register ll a, register ll b, register ll &x, register ll &y) {
if (! b) return x = 1, y = 0, a;
register ll d = ExGCD (b, a % b, x, y), tmp = x;
return x = y, y = tmp - a / b * y, d;
}
inline ll ExCRT () {
register ll ans = c[1], lcm = p[1], maxx = 0;
for (register int i = 2; i <= n; i ++) {
register ll res = ((c[i] - ans) % p[i] + p[i]) % p[i], x = 0, y = 0, gcd = ExGCD (lcm, p[i], x, y), tmp = p[i] / gcd;
if (res % gcd) return -1;
x = Mul (x, res / gcd, tmp), ans += x * lcm, lcm *= tmp, ans = (ans % lcm + lcm) % lcm, maxx = max (maxx, p[i]);
}
return (ans % lcm + lcm) % lcm;
}
int main () {
T = read();
while (T --) {
n = read(), m = read(), vec.clear (), ALLONE = 1, maxx = 0;
for (register int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = read();
for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
p[i] = read();
if (p[i] != 1) ALLONE = 0;
}
for (register int i = 1; i <= n; i ++) atk[i] = read();
for (register int i = 1; i <= m; i ++) vec.push_back (read ());
sort (vec.begin (), vec.end ());
for (register int i = 1, res; i <= n; i ++) {
res = upper_bound (vec.begin (), vec.end (), a[i]) - vec.begin ();
if (res) res --;
b[i] = vec[res], vec.erase (vec.begin () + res);
res = lower_bound (vec.begin (), vec.end (), atk[i]) - vec.begin ();
vec.insert (vec.begin () + res, atk[i]);
}
if (ALLONE) {
for (register int i = 1; i <= n; i ++) maxx = max (maxx, (ll) ceil (1.0 * a[i] / b[i]));
printf ("%lld\n", maxx);
} else {
for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
register ll x = 0, y = 0, res = ExGCD (b[i], p[i], x, y);
x = 0, y = 0, res = ExGCD (res, a[i], x, y), b[i] /= res, p[i] /= res, a[i] /= res, x = 0, y = 0;
register ll gcd = ExGCD (b[i], p[i], x, y), tmp = p[i] / gcd;
if (a[i] % gcd) { puts ("-1"); goto end; }
else x = (x % tmp + tmp) % tmp, c[i] = Mul (x, a[i] / gcd, tmp);
}
printf ("%lld\n", ExCRT ()); end:;
}
}
return 0;
}
