「多项式牛顿迭代」
前置知识
导数
微积分
基本问题
给定一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)\)，求多项式 \(G(x)\) 满足：
\[F(G(x))\equiv 0\mod x^n \]
设有
\[F(G_0(x))\equiv 0\mod x^{\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil}
\]
根据泰勒展开得
\[F(G(x))=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{F^{(n)}(G_0(x))(G(x)-G_0(x))^n}{n!}
\]
\[\because F(G(x))\equiv 0\mod x^n
\]
\[\therefore \sum^{\infty}_{n=0}\frac{F^{(n)}(G_0(x))(G(x)-G_0(x))^n}{n!} \equiv 0\mod x^n
\]
由于 \(G(x)\) 是一个 \(n\) 次多项式，且是在 \((mod\; x^n)\) 的意义下，所以 \(n=2\) 以后的项都被模成了 \(0\) 。
\[F(G_0(x))+F'(G_0(x))(G(x)-G_0(x)) \equiv 0\mod x^n
\]
\[F(G_0(x))+F'(G_0(x))G(x)-F'(G_0(x))G_0(x) \equiv 0\mod x^n
\]
\[F'(G_0(x))G(x)\equiv F'(G_0(x))G_0(x) - F(G_0(x))\mod x^n
\]
\[G(x)\equiv G_0(x) - \frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}\mod x^n
\]
解得
\[G(x)\equiv G_0(x) - \frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}\mod x^n
\]
