「多项式求导」

前置芝士

导数

微积分

基本问题

给定一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)\)，求 \(F'(x)\) 。

设

\[F(x)=\sum^{n}_{i=0}a_ix^i \]

\[F(x+dx)=\sum^{n}_{i=0}a_i(x+dx)^i \]

\[F(x+dx)=\sum^{n}_{i=0}a_i(\binom{i}{0}x^i+\binom{i}{1}x^{i-1}dx+\binom{i}{2}x^{i-2}dx^2+...+\binom{i}{i-1}xdx^{i-1}+\binom{i}{i}dx^i) \]

\[F(x+dx)-F(x)=\sum^{n}_{i=1}a_i(\binom{i}{1}x^{i-1}dx+\binom{i}{2}x^{i-2}dx^2+...+\binom{i}{i-1}xdx^{i-1}+\binom{i}{i}dx^i) \]

\(PS\)：因为第 \(0\) 次项只有一个常数，被直接减掉了，所以直接从 \(i=1\) 开始枚举了。

\[F'(x)=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\sum^{n}_{i=1}a_i\binom{i}{1}x^{i-1} \]

\(PS\)：从 \(i=2\) 往后的项因为其中的 \(dx\) 没有全部消掉，且 \(\lim_{dx\to 0}\)，直接变成 \(0\) 了。

\[F'(x)=\sum^{n}_{i=0}a_{i + 1}(i+1)x^i \]

很容易发现，其实就是求导之前的多项式系数整体左移一位再乘上一个 \(i+1\)，得到的就是它的导数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

using namespace std;

const int maxn = 3e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353, inv3 = 332748118;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

inline void write (register int x) {
	if (x / 10) write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

int n;
int f[maxn];
int df[maxn];

int main () {
	n = read();
	for (register int i = 0; i <= n; i ++) f[i] = read();
        for (register int i = 0; i <= n - 1; i ++) df[i] = 1ll * f[i + 1] * (i + 1) % mod;
	return 0;
}