「朝花夕拾」

一个人做到只剩了回忆的时候，生涯大概总要算是无聊了吧，但有时竟会连回忆也没有。 ——鲁迅《朝花夕拾》

\(PS\)：由于这部分在疫情里\(\Huge\color{blue} 氵\)掉了，或是好久之前学过但现在忘却的，时而回忆，以记于心。

差分约束

概念&定义

如果一个系统由 \(n\) 个变量和 \(m\) 个约束条件组成，形成 \(m\)个形如 \(a_i-a_j\leq k\) 的不等式(\(i,j\in [1,n],k\) 为常数)，则称其为差分约束系统(\(system\; of\; difference\; constraints\)) 。

引例

给出 \(n\) 个变量，\(m\) 个形如 \(x_i- x_j\leq w(i,j\in [0,n - 1])\) 不等式，求出 \(x_{n-1}-x_0\) 的最大值。

如下 \(3\) 个不等式：

\[x_1-x_0\leq 2 \]

\[x_2-x_1\leq 3 \]

\[x_2-x_0\leq 4 \]

经运算，得出：

\[x_2-x_0\leq min (4,5) \]

可以发现，我们用 \(1,2\) 式推出 \(x_2\) 与 \(x_0\) 的关系的过程，与 \(SPFA\) 中的松弛操作类似，考虑和图论建立关系。

我们可以将形如 \(x_i- x_j\leq w(i,j\in [0,n - 1])\) 不等式，转移到图上，建一条 \(x_j\) 到 \(x_i\) 的边权为 \(w\) 的有向边。

按照这个套路，我们可以将上面的不等式组建成下面的一个图：

问题转成了：求 \(x_0\) 到 \(x_{n-1}\) 的最短路，\(SPFA\) 即可。

解的存在性

\(SPFA\) 会出现负环和终点不可达的特殊情况，差分约束系统中同样存在：

负环

比如这 \(3\) 个不等式：

\[x_0-x_1\leq -1 \]

\[x_1-x_2\leq -1 \]

\[x_2-x_0\leq -1 \]

在图中是如下情况：

会发现：\(dis_{n-1}-dis_0\leq w\) 中的 \(w\) 在无限减小，会使 \(dis\) 值不断减小，造成了无解的情况。

在 \(SPFA\) 中体现为 \(1\) 个点入队次数超过总点数 \(n\) 。

终点不可达

显然是 \(x_{n-1}\) 与 \(x_0\) 不存在直接/间接的约束关系，也不会有解。

在 \(SPFA\) 中体现为 \(dis_{n-1} = INF\) 。

灵活性

当问题的不等关系不是 \(\leq\) 的情况时，可以根据一些基础的数学知识将符号转化成解题所需的不等号，如：

\(a - b < c\) 转化为 \(a-b\leq c - 1\)
\(a - b \geq c\) 转化为 \(b - a \leq - c\)
\(a - b = c\) 转化为 \(a - b \leq c\) 和 \(b - a \leq - c\)
\(a = b\) 转化为 \(a - b \leq 0\) 和 \(b - a \leq 0\)

这使我们的差分约束更加灵活，在不同的题意下更加灵活多变。

结论

当我们求形如求 \(x_{n-1} - x_0\) 的最大值的问题，可以将不等式转化为 \(\leq\) 的性质，求最短路。

当我们求形如求 \(x_{n-1} - x_0\) 的最小值的问题，可以将不等式转化为 \(\geq\) 的性质，求最长路。

例题

某谷板子

某谷P5960

思路

板子，直接看代码就行了。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

inline void write (register int x) {
	if (x / 10) write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

int n, m;

struct Edge {
	int to, next, w;
} e[maxn << 1];

int tot, head[maxn];

inline void Add (register int u, register int v, register int w) {
	e[++ tot].to = v;
	e[tot].w = w;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int dis[maxn], cnt[maxn];
bool vis[maxn];

inline void SPFA (register int x) {
	memset (dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset (vis, 0, sizeof vis);
	queue <int> q;
	q.push (x), dis[x] = 0;
	while (! q.empty ()) {
		register int u = q.front ();
		q.pop (), vis[u] = 0;
		for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
			register int v = e[i].to;
			if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if (! vis[v]) {
					vis[v] = 1, q.push (v);
					if (++ cnt[v] > n) puts ("NO"), exit (0); // 判断无解
				}
			}	
		}
	}
}

int main () {
	n = read(), m = read();
	for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
		register int u = read(), v = read(), w = read();
		Add (v, u, w); // 注意是减号后的变量向前建边
	}
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) { // 大多数差分约束都用到的操作
		Add (0, i, 0); // 建一个0的虚点，向每一个点建边，且边权为0,不会对答案造成影响
	}
	SPFA (0);
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) printf ("%d ", dis[i]);
	putchar ('\n');
	return 0;
}

小 K 的农场

某谷P1993

思路

用一下数学知识转换一下柿子即可。

~~小声bb：最近题解越来越skyh了~~

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

inline void write (register int x) {
	if (x / 10) write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

int n, m;

struct Edge {
	int to, next, w;
} e[maxn << 1];

int tot, head[maxn];

inline void Add (register int u, register int v, register int w) {
	e[++ tot].to = v;
	e[tot].w = w;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int dis[maxn], cnt[maxn];
bool vis[maxn];

inline void SPFA (register int x) {
	memset (dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset (vis, 0, sizeof vis);
	queue <int> q;
	q.push (x), dis[x] = 0;
	while (! q.empty ()) {
		register int u = q.front ();
		q.pop (), vis[u] = 0;
		for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
			register int v = e[i].to;
			if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if (! vis[v]) {
					vis[v] = 1, cnt[v] ++;
					if (cnt[v] > n) puts ("No"), exit (0);
					q.push (v);
				}
			}
		}	
	}
}

int main () {
	n = read(), m = read();
	for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
		register int opt = read(), u = read(), v = read();
		if (opt == 1) {
			register int w = read();
			Add (u, v, -w);
		} else if (opt == 2) {
			register int w = read();
			Add (v, u, w);			
		} else {
			Add (u, v, 0), Add (v, u, 0);
		}
	}
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) Add (0, i, 0);
	SPFA (0), puts ("Yes");
	return 0;
}

[HNOI2005]狡猾的商人

某谷P2294

思路

其实式子是一个前缀和 \(sum[r] - sum[l - 1] = w\) 。

转化为 \(sum[r] - sum[l - 1] \leq w\) 和 \(sum[l - 1] - sum[r] \leq - w\)，跑遍 \(SPFA\) 即可。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

inline void write (register int x) {
	if (x / 10) write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

int T, n, m;

struct Edge {
	int to, next, w;
} e[maxn << 1];

int tot, head[maxn];

inline void Add (register int u, register int v, register int w) {
	e[++ tot].to = v;
	e[tot].w = w;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int dis[maxn], cnt[maxn];
bool vis[maxn];

inline void Init () {
	tot = 0;
	memset (e, 0, sizeof e);
	memset (cnt, 0, sizeof cnt);
	memset (head, 0, sizeof head);
}

inline bool SPFA (register int x) {
	memset (dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset (vis, 0, sizeof vis);
	queue <int> q;
	q.push (x), dis[x] = 0;
	while (! q.empty ()) {
		register int u = q.front ();
		vis[u] = 0, q.pop ();
		for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
			register int v = e[i].to;
			if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if (! vis[v]) {
					vis[v] = 1, q.push (v);
					if (++ cnt[v] > n) return 0;
				}
			}
		}	
	}
	return 1;
}

int main () {
	T = read();
	while (T --) {
		n = read(), m = read(), Init ();
		for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
			register int u = read(), v = read(), w = read();
			Add (u - 1, v, w), Add (v, u - 1, - w); // 转化后的式子
		}
		if (SPFA (0)) puts ("true");
		else puts ("false");
	}
	return 0;
}

[USACO05DEC]Layout G

某谷P4878

思路

差分约束完美板子题，不知道为啥是紫。

处理好上面讲的两种特殊情况，先建虚点，跑一边 \(SPFA (0)\)，判断一下解的存在，再跑 \(SPFA(1)\)（最优情况下，编号为 \(1\) 的牛放到 \(0\) 显然会更优），输出 \(dis[n]\) 即可。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

inline void write (register int x) {
	if (x / 10) write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

int n, m, k;

struct Edge {
	int to, next, w;
} e[maxn << 1];

int tot, head[maxn];

inline void Add (register int u, register int v, register int w) {
	e[++ tot].to = v;
	e[tot].w = w;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int dis[maxn], cnt[maxn];
bool vis[maxn];

inline void SPFA (register int x) {
	memset (dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset (vis, 0, sizeof vis);
	queue <int> q;
	q.push (x), dis[x] = 0;
	while (! q.empty ()) {
		register int u = q.front ();
		q.pop (), vis[u] = 0;
		for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
			register int v = e[i].to;
			if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if (! vis[v]) {
					vis[v] = 1, q.push (v);
					if (++ cnt[v] > n) puts ("-1"), exit (0);
				}
			}
		}
	}
	if (x == 1) {
		if (dis[n] == INF) puts ("-2"), exit (0);
		printf ("%d\n", dis[n]);
	}
}

int main () {
	n = read(), m = read(), k = read();
	for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
		register int u = read(), v = read(), w = read();
		Add (u, v, w);
	}
	for (register int i = 1; i <= k; i ++) {
		register int u = read(), v = read(), w = read();
		Add (v, u, -w);
	}
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) Add (0, i, 0);
	SPFA (0), SPFA (1);
	return 0;
}

[POI2012]FES-Festival

某谷P3530

思路

波兰人就是不一样，差分约束用 \(Floyd\) 写，既然做人家的题，就按照人家的思路来呗。

首先分析一下我们要求的是什么？

我们将条件转化成 \(x_i-x_j \leq w\) 的形式，最后我们建出来的图的最长路加 \(1\) 就是我们要求的答案。

为什么？

转化一下式子：\(x_i\leq x_j + w\)，\(x_i\) 的取值是 \([x_j,x_j+w]\) 这个范围内的，取值个数是 \(w + 1\)，我们跑最长路求出来的是最大的 \(\sum w\)，加上 \(1\)，就是我们的答案。

会发现，建完图，这是一个由多个联通块组成的图，对每一个联通块跑最长路，答案就是他们的和。

很好解释：

若有两个联通块，\(1,2\) 在一个联通块里，\(3,4\) 在一个联通块里，\(1,2\) 会互相限制，\(3,4\) 会互相限制，但是两个联通块之间没有约束关系，所以一个联通块取 \(2\) 个值，加起来就是 \(4\) 个，所以，我们求的就是这个和。

\(Tarjan\) 缩完点后，在每个联通块求最长路，它们加 \(1\) 的和，就是我们所求的答案。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

typedef long long ll;

using namespace std;

const int maxn = 6e2 + 50, maxm = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

inline void write (register int x) {
	if (x / 10) write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

int n, m1, m2, ans;
int f[maxn][maxn];

struct Edge {
	int to, next, w;
} e[maxm << 1];

int tot, head[maxn];

inline void Add (register int u, register int v, register int w) {
	e[++ tot].to = v;
	e[tot].w = w;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

bool vis[maxn];
int dfn[maxn], low[maxn], belong[maxn], st[maxn];
int sum, top, tic;

inline void Tarjan (register int u) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tic;
	st[++ top] = u, vis[u] = 1;
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (! dfn[v]) {
			Tarjan (v);
			low[u] = min (low[u], low[v]);
		} else if (vis[v]) {
			low[u] = min (low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (dfn[u] == low[u]) {
		sum ++;
		while (st[top + 1] != u) {
			register int v = st[top --];
			belong[v] = sum, vis[v] = 0;
		}
	}
}


int main () {
	n = read(), m1 = read(), m2 = read(), memset (f, 0x3f, sizeof f);
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) f[i][i] = 0; //Floyd初始化
	for (register int i = 1; i <= m1; i ++) {
		register int u = read(), v = read();
		Add (u, v, 1), Add (v, u, -1), f[u][v] = min (f[u][v], 1), f[v][u] = min (f[v][u], -1); //要求的是最短路，所以重边的边权取min
	}
	for (register int i = 1; i <= m2; i ++) {
		register int u = read(), v = read();
		Add (v, u, 0), f[v][u] = min (f[v][u], 0);
	}
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) Add (0, i, 0);
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) if (! dfn[i]) Tarjan (i);
	for (register int k = 1; k <= n; k ++) {
		for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
			for (register int j = 1; j <= n; j ++) {
				f[i][j] = min (f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
			}
		}
	}
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) if (f[i][i] < 0) return puts ("NIE"), 0; //Floyd判负环，即到自己的路径为负数
	for (register int k = 1; k <= sum; k ++) {
		register int tmp = 0;
		for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
			for (register int j = 1; j <= n; j ++) {
				if (belong [i] == k && belong[j] == k) {
					tmp = max (tmp, f[i][j] + 1);
				}
			}
		}
		ans += tmp;
	}
	printf ("%d\n", ans);
	return 0;
}

posted @ 2020-10-31 09:39 Rubyonlу 阅读(180) 评论(2) 编辑收藏举报

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