「分块」学习笔记
「分块」
算法思想
当我们对于一个很大数组 \((1e5)\) 进行区间修改和区间查询时，我们会想到线段树的 \(nlog_n\) 的优秀效率。
分块——优雅的暴力！！！
我们将区间分成每个大小为 \(S\) 的小块，这样我们的复杂度就会从 \(n\) 降到 \(\frac n S\) 的效率。
基本思路
初始化
我们先将数组分成长度为 \(S\) 小块，用原下标除以 \(S\) 向上取整，就是他分块后的小块标号。
void Init() { //分块初始化
S = sqrt(n);
for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
bel[i] = (i - 1) / S + 1; //向上取整
size[bel[i]] ++; //统计每个块的大小，为什么不直接L[i] - R[i]，因为可能最后一个块的大小不是S
sum[bel[i]] += a[i]; //统计每个块的权值总和
if (!L[bel[i]]) L[bel[i]] = i; //每个块的左端点
R[bel[i]] = i; //每个块的右端点
}
}
区间修改
若我们要将 \(l\) 到 \(r\) 的区间内都加上权值 \(w\)。
若这个区间在一个小块里面
直接 \(S\) 的效率一个一个修改即可。
若这个区间横跨了多个小块
如下图
我们先用 \(S\) 效率将左右两端无法组成一个块的单点都加上。
然后对于中间的块，一个一个块都打上标记，跟线段树上的标记差不多，最后区间查询时加上即可。
void Modify(int l, int r, int w) { //区间修改
if (bel[l] == bel[r]) { //如果这个区间在同一个块里
sum[bel[l]] += (r - l + 1) * w; //块的值加上
for (register int i = l; i <= r; i ++) { //每个单点的值也加上
a[i] += w;
}
}else {
Modify (l, R[bel[l]], w); //最左边无法组成一个块的
Modify (L[bel[r]], r, w); //最右边无法组成一个块的
for (register int i = bel[l] + 1; i < bel[r]; i ++) { //把中间的块加上，并打上花火 &!@*^$&*^*&^@
tag[i] += w;
sum[i] += size[i] * w;
}
}
}
区间查询
跟区间修改的思想类似
若这个区间在一个小块里面
将这个块里标记值加上，在加上单点的值即可。
若这个区间横跨了多个小块
将无法组成左右无法组成一个小块的部分用上面的思路加和。
剩下的一块一块直接加上 \(sum[i]\) 即可。
inline int Query(int l, int r) { //区间查询
int ans = 0;
if (bel[l] == bel[r]) {
ans += (r - l + 1) * tag[bel[l]]; //把之前整块修改的值加上
for (register int i = l; i <= r; i ++) { // 把之前单点修改后的值加上
ans += a[i];
}
}else {
ans += Query(l, R[bel[l]]); //最左边无法组成块的值加上
ans += Query(L[bel[r]], r); //最右边无法组成块的值加上
for (register int i = bel[l] + 1; i < bel[r]; i ++) {
ans += sum[i]; //这样我们的sum数组就可以直接查了
}
}
return ans;
}
时间效率
自我感觉比线段树好写，而且在某些题上会比线段树跑得快。
例如这个板子题
分块
线段树
练习题
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read(){
int x = 0, w = 1;
char ch;
for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') w = -1;
for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
return x * w;
}
int n, m, S;
int a[maxn];
int bel[maxn], size[maxn], sum[maxn], L[maxn], R[maxn];
int tag[maxn];
void Init() { //分块初始化
S = sqrt(n);
for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
bel[i] = (i - 1) / S + 1; //向上取整
size[bel[i]] ++; //统计每个块的大小，为什么不直接L[i] - R[i]，因为可能最后一个块的大小不是S
sum[bel[i]] += a[i]; //统计每个块的权值总和
if (!L[bel[i]]) L[bel[i]] = i; //每个块的左端点
R[bel[i]] = i; //每个块的右端点
}
}
void Modify(int l, int r, int w) { //区间修改
if (bel[l] == bel[r]) { //如果这个区间在同一个块里
sum[bel[l]] += (r - l + 1) * w; //块的值加上
for (register int i = l; i <= r; i ++) { //每个单点的值也加上
a[i] += w;
}
}else {
Modify (l, R[bel[l]], w); //最左边无法组成一个块的
Modify (L[bel[r]], r, w); //最右边无法组成一个块的
for (register int i = bel[l] + 1; i < bel[r]; i ++) { //把中间的块加上，并打上花火 &!@*^$&*^*&^@
tag[i] += w;
sum[i] += size[i] * w;
}
}
}
inline int Query(int l, int r) { //区间查询
int ans = 0;
if (bel[l] == bel[r]) {
ans += (r - l + 1) * tag[bel[l]]; //把之前整块修改的值加上
for (register int i = l; i <= r; i ++) { // 把之前单点修改后的值加上
ans += a[i];
}
}else {
ans += Query(l, R[bel[l]]); //最左边无法组成块的值加上
ans += Query(L[bel[r]], r); //最右边无法组成块的值加上
for (register int i = bel[l] + 1; i < bel[r]; i ++) {
ans += sum[i]; //这样我们的sum数组就可以直接查了
}
}
return ans;
}
int main(){
n = read(), m = read();
for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
a[i] = read();
}
Init();
while (m --) {
int opt = read(), l = read(), r = read();
if (opt == 1) {
int w = read();
Modify(l, r, w);
}else {
printf("%d\n", Query(l, r));
}
}
return 0;
}
