小象和老鼠——线性dp

小象和老鼠

题目描述

\(S\) 国的动物园是一个 \(N\times M\) 的网格图，左上角的坐标是 \((1,1)\)，右下角的坐标是 \((N,M)\)。

小象在动物园的左上角，它想回到右下角的家里去睡觉，但是动物园中有一些老鼠，而小象又很害怕老鼠。动物园里的老鼠是彼此互不相同的。小象的害怕值定义为他回家的路径上可以看见的不同的老鼠的数量。若小象当前的位置为 \((x_1,y_1)\)，小象可以看见老鼠，当且仅当老鼠的位置 \((x_2,y_2)\) 满足 \(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\leq 1\) 。

由于小象很困了，所以小象只会走一条最近的路回家，即小象只会向下或者向右走。现在你需要帮小象确定一条回家的路线，使得小象的害怕值最小。

输入格式

第一行包含两个用空格隔开的整数，\(N\) 和 \(M\)。

接下来一个 \(N\times M\) 的矩阵表示动物园的地图。其中 \(A[i][j]\) 表示第i行第j列上老鼠的数量。

若 \(A[i][j]=0\) 则表示当前位置上没有老鼠(小象的家里也可能存在老鼠)。

输出格式

输出一个整数，表示路线最小的害怕值是多少。

样例

样例输入

3 9 
0 0 1 0 0 0 0 0 1 
1 1 1 1 1 1 0 1 0 
1 0 0 1 0 0 1 0 0

样例输出

9

数据范围与提示

对于 \(10\%\) 的数据，\(1\leq N,M\leq 5\)。

对于 \(100\%\)的数据，\(1\leq N,M\leq 1000，0\leq A[i][j]\leq100\)。

思路

一开始我们发现是一个棋盘形的图，我们可以考虑暴力走 \(Dfs\)，但是有一个限制，看过的老鼠就无法再次计数了，所以直接扫的话比较麻烦。

因为我们可以发现小象只可以往下和往右走，所以就可以定义 \(dp[i][j][1/0]\)，表示小象在 \(A[i][j]\) 的位置时，上一步向下或向右走到当前位置，所见到的老鼠的最小值，这样我们就可以从上一列或上一行转移过来。

同时，我们在计算的同时注意不要重复计数即可。

动态转移方程：

/*0表示从上面走来，1表示从左面走来*/
f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][0]+pan[i][j-1]+pan[i][j+1]+pan[i+1][j]);//上一步也从上面走来
f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][1]+pan[i+1][j]+pan[i][j+1]);//上一步从左面走来
f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][j-1][1]+pan[i-1][j]+pan[i][j+1]+pan[i+1][j]);//上一步也从左面走来
f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][j-1][0]+pan[i][j+1]+pan[i+1][j]);//上一步从上面走来

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e3+50;

int n,m;
int pan[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn][2];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			scanf("%d",&pan[i][j]);
		}
	}
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[1][1][1]=pan[1][1]+pan[1][2]+pan[2][1];//初始化
	f[1][1][0]=f[1][1][1];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(i==1&&j==1)continue;
			/*0表示从上面走来，1表示从左面走来*/
			f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][0]+pan[i][j-1]+pan[i][j+1]+pan[i+1][j]);//上一步也从上面走来
			f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][1]+pan[i+1][j]+pan[i][j+1]);//上一步从左面走来
			f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][j-1][1]+pan[i-1][j]+pan[i][j+1]+pan[i+1][j]);//上一步也从左面走来
			f[i][j][1]=min(f[i][j][1],f[i][j-1][0]+pan[i][j+1]+pan[i+1][j]);//上一步从上面走来
		}
	}
	printf("%d\n",min(f[n][m][1],f[n][m][0]));
	return 0;
}