小烈送菜——奇怪的dp

小烈送菜

题目描述

小烈一下碰碰车就被乐满地的工作人员抓住了。作为扰乱秩序的惩罚，小烈必须去乐满地里的“漓江村”饭店端盘子。

服务员的工作很繁忙。他们要上菜，同时要使顾客们尽量高兴。一位服务生为 \(n\) 个顾客上菜。这 \(n\) 个顾客坐成一排，小烈从一端的厨房中端出\(n\)盘菜（不要问我为什么小烈能一下子端住 \(2500\) 盘菜，他就是能）为 \(n\) 个顾客各上一道相同的菜。

显然，小烈需要走一个来回，如图：

本来，小烈可以按 \(1,2,3...n\) 的顺序一次给每个顾客上菜，但是，聪明的小烈通过观察发现，每个顾客都有一个开心值 \(H_1\)、\(H_2\)、\(H_3\)...\(H_n\) ，离厨房最近的为 \(H_1\) ，然后依次为 \(H_2\)、\(H_3\)...\(H_n\) 。若小烈给第 \(j\) 位顾客上菜前刚刚为第 \(i\) 位顾客上菜，则第 \(j\) 位就会高兴，产生高兴指数 \(W_j=H_i\times H_j\) 。这样，如果小烈按一定的方式调整上菜顺序，可以得到更高的高兴指数。现在小烈想知道用某一方法可达到的 \(n\) 位顾客高兴指数之和的最大值 \(S\) 。因为顾客越高兴，给小烈的小费越多。第一位上菜的顾客不产生高兴值。

输入格式

第一行一个整数 \(n\) ，顾客的数目。

第二行 \(n\) 个数，第 \(i\) 个数表示第 \(i\) 位顾客的开心值。各个数字用空格隔开。

输出格式

一个数 \(s\) ，为高兴指数的最大值。

样例

样例输入

3
7 1 9

样例输出

72

数据范围与提示

样例解释：从左往右上 \(1\) 的菜，再上 \(9\) 的菜，高兴值是 \(0\times 1+1\times 9\) ，从右往左走回来的时候上 \(7\) 的菜，高兴值是 \(7\times 9\) ，总的高兴值就是 \(72\) 。
对于 \(30\%\) 的数据\(n\leq9,n\in N^+\)；
对于 \(70\%\) 的数据\(n\leq1500,n\in N^+\)；
对于 \(100\%\) 的数据\(n\leq2500,n\in N^+\)；
所有数字小于（含结果） \(2147483648\) ；

思路

题意中的来回两次直接 \(dp\) 的话，还需要记录第一次走的路径，很麻烦。

根据之前的方格取数，我们也可以把这个题转换成两个小烈送菜。

定义 \(dp[i][j]\) 为有两个小烈同时从厨房开始送菜，第一个小烈到达 \(i\) 的位置，第二个小烈到达 \(j\) 的位置，所能取到的最大值。

有一个很重要的性质：\(dp[i][j]=dp[j][i]\)。
第一个小烈送到 \(i\) 的位置，第二个小烈送到 \(j\) 的位置与第一个小烈送到 \(j\) 的位置，第二个小烈送到 \(i\) 的位置所得的结果是相同的。

动态转移方程：

第一个小烈由 \(i\) 送到 \(i+1\) 的位置。

\(dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j]+a[i]*a[i+1])\)

或者第二个小烈由 \(j\) 送到 \(i+1\) 的位置。

\(dp[i][i+1]=max(dp[i][i+1],dp[i][j]+a[j]*a[i+1])\)

根据之前的性质，可以把转移方程转化为：

\(dp[i+1][i]=max(dp[i+1][i],dp[i][j]+a[j]*a[i+1])\)

这样保证了 \(dp[i][j]\) 中的 \(i\) 一定会大于 \(j\)，便于处理。

最后在寻找一遍最大值即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=2500+50;
int n,ans;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j]+a[i]*a[i+1]);//前面那个处于i位置的小烈送i+1的菜
            dp[i+1][i]=max(dp[i+1][i],dp[i][j]+a[j]*a[i+1]);//后面那个处于j位置的小烈送i+1的菜，并根据性质翻转
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        ans=max(ans,dp[n][i]+a[n]*a[i]);//前面那个小烈送到n的位置，但是不确定后面那个小烈在哪里，所以以此枚举
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}