BZOJ [ZJOI2007]仓库建设

题目描述

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

• 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
• 工厂i目前已有成品数量Pi;
• 在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

 

输出格式：

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

输出样例#1： 复制

32

说明

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。

如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5)3=57，总费用67，不如前者优。

对于20%的数据， N ≤500；

对于40%的数据， N ≤10000；

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

 

这道题是一道斜率优化的题目 对我这种第一次写斜率优化的蒟蒻还是很有帮助的

$dp$方程还是比较好想的 $dp[i]$表示在第$i$个位置建设仓库带来的最小花费

那么$dp[i] = dp[j] + xi *\sum_{k=j+1}^{i}pi - \sum_{k = j + 1}^{i}xi * pi + c[i]$

这个东西可以使用前缀和维护 $sum$表示$x * p$的前缀和 $sump$ 表示$p$的前缀和

变一下$dp[i] = dp[j] + xi * (sump[i] - sump[j]) + sum[i] - sum[j] + c[i]$

若决策$j$优于决策$k$ 那么

$dp[j] + xi * (sump[i] - sump[j]) + sum[i] - sum[j] + c[i] < dp[k] + xi * (sump[i] - sump[k]) + sum[i] - sum[k] + c[i]$

化简得$((dp[j) - sum[j]) - (dp[k] - sum[k])) / (sump[k] + sump[j]) < xi$

然后这个东西就可以使用斜率优化了

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e7 + 5;
ll dp[N], sum[N], sump[N];
ll n, x[N], p[N], c[N], Q[N];

ll Y(int pos) { return dp[pos] + sum[pos];}

ll X(int pos) {return sump[pos];}

double slope(int pos1, int pos2) {
    return 1.0 * (Y(pos1) - Y(pos2)) / (X(pos1) - X(pos2));
}

void init( ) {
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        scanf("%lld%lld%lld",& x[i], & p[i], & c[i]);
        sump[i] = sump[i - 1] + p[i];
        sum[i] = sum[i - 1] + x[i] * p[i];
    }
}

void Solve( ) {
    
    int h = 0, t = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        while(h < t && slope(Q[h + 1], Q[h]) < x[i]) h ++;
        int j = Q[h]; dp[i] = dp[j] + x[i] * (sump[i] - sump[j]) - sum[i] + sum[j] + c[i];
        while(h < t && slope(Q[t], Q[t - 1]) > slope(i, Q[t])) t --; Q[++ t] = i; 
    }
    printf("%lld\n", dp[n]);
}

int main( ) {
    
    scanf("%lld",& n);
    init( );
    Solve( );
}