洛谷 P1494 [国家集训队]小Z的袜子
题目描述
作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。
然而数据中有L=R的情况，请特判这种情况，输出0/1。
输入输出格式
输入格式：
输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。
输出格式：
包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）
输入输出样例
说明
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。
莫队算法入门是在大米饼的博客学习的 戳这里%%%
这道题之前在东北讲莫队的时候讲过 然后今天大家都在搞这道题 我就来凑个热闹
很明显这道题$O(n√n)$是可以过得
根据莫队算法的基本思想 离线处理询问 现将询问按照左端点分组 在同一个块内的分成一组 然后再对每个块内的询问按照右端点排序
接社我们处理完一个询问 那么到达下一个同组内的询问时 左端点在同一个块内反复横跳 右端点递增的扫过去 就利用了之前的信息
现在就是怎么算答案了 设每个颜色的数量分别为 $a1,a2,a3,a4 .... $
那么每个颜色被选中的情况的数量
化简得
$(a1 * (a1 - 1) + a2 * (a2 - 1) + ... )\cdot \frac{1}{2}= \sum_{i = 1}^{n} (ai\cdot ai - ai)\cdot \frac{1}{2} = (\sum_{i = 1}^{n}ai\cdot ai - len)\cdot \frac{1}{2}$
$len$是询问区间长度 即$R - L+1$
概率就是 上面那一坨再除以$_{len}^{2}\textrm{C}$
再化化简得 $\frac{\sum_{i= 1}^{n} ai^{2} - len}{(len - 1)\cdot len}$
所以对于这玩意我们只需要维护每种颜色的平方和 剩下的就是各种细节乱搞了
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 5 * 1e5 + 5; int n,m,num[800],c[N],blo,cnt; ll h[N],ans; struct ques { int l,r,id; }q[N],k[800][800],a[N]; bool cmp(const ques & a,const ques & b) { return a.r < b.r; } void Init( ) { scanf("%d%d",& n,& m); for(int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d",& c[i]); blo = sqrt(n); for(int i = 1;i <= m;i ++) { scanf("%d%d",& q[i].l,& q[i].r); q[i].id = i; int b = (q[i].l + blo - 1) / blo; k[b][++ num[b]] = q[i]; } cnt = (n + blo - 1) / blo; for(int i = 1;i <= cnt;i ++) if(num[i]) sort(k[i],k[i] + num[i] + 1,cmp); int tot = 0; for(int i = 1;i <= cnt;i ++) if(num[i]) { for(int j = 1;j <= num[i];j ++) q[++ tot] = k[i][j]; } } ll gcd(ll a,ll b) { return b == 0 ? a : gcd(b,a % b); } void update(int pos,int del) { ans -= h[c[pos]] * h[c[pos]]; h[c[pos]] += del; ans += h[c[pos]] * h[c[pos]]; } void Solve( ) { ans = 0; int L,R,las = 0; for(int i = 1;i <= m;i ++) { int now = (q[i].l + blo - 1) / blo; if(i == 1) { las = now; if(q[i].l == q[i].r) { printf("0/1\n"); L = q[i].l; R = q[i].r; continue; } for(int j = q[i].l;j <= q[i].r;j ++) h[c[j]] ++; for(int j = 0;j <= n;j ++) { ans += (h[j] * h[j]); } L = q[i].l; R = q[i].r; } else { for(;R < q[i].r;R ++) update(R + 1,1); for(;R > q[i].r;R --) update(R,-1); for(;L > q[i].l;L --) update(L - 1,1); for(;L < q[i].l;L ++) update(L,-1); } if(q[i].l == q[i].r) { a[q[i].id].l = 0; a[q[i].id].r = 1; continue; } ll len = q[i].r - q[i].l + 1; ll u = len * (len - 1),g = gcd(ans - len,u); ll up = (ans - len) / g; ll down = u / g; a[q[i].id].l = up; a[q[i].id].r = down; } for(int i = 1;i <= m;i ++) printf("%d/%d\n",a[i].l,a[i].r); } int main( ) { Init( ); Solve( ); }
