矩阵快速幂+斐波那契

矩阵快速幂+斐波那契

一、矩阵乘法

矩阵乘法也就是AXB=A第I行分别与B的第J列的对应元素依次相乘：

$$\begin{bmatrix} a&c\\ b&d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} e&g\\ f&h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\times e+c\times f&a\times g+c\times h\\ b\times e+d\times f&b\times g+d\times h \end{bmatrix}$$

那么斐波那契怎么用矩阵计算呢，我们知道斐波那契数列是：

$$\begin{bmatrix} f(1)&f(2)\\ f(3)&f(4) \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(2)&f(1)+f(2)\\ f(4)&f(3)+f(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(2)&f(3)\\ f(4)&f(5) \end{bmatrix}$$

那么我们假设：

$$A= \begin{bmatrix} f(1)&f(2)\\ f(3)&f(4) \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&1 \end{bmatrix}$$

那么：

$$A\times B^n= \begin{bmatrix} f(n+1)&f(n+2)\\ f(n+3)&f(n+4) \end{bmatrix}$$

所以当要求取的斐波那契的数量特别大的时候，我们就需要将 $$B^n$$ 快速的算出来，那么这个时候就会联想到快速幂，但是我们是矩阵，所以只需要把矩阵乘法的方法加到快速幂当中就能够解决问题了。

快速幂：

long long qpow(long long a,long long b){
  while(a){
    long long ans=0;
    if(a&1) ans=(ans*a)%mod;
    a=(a*a)%mod;
    b=b>>1;
  }
  return ans;
}

矩阵乘法

原文(板子)链接：https://blog.csdn.net/lzyws739307453/article/details/90144987

Mat Mul(Mat a, Mat b, int n) {//计算矩阵a乘矩阵b，n为矩阵的大小
    Mat c;//临时矩阵c
    memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            for (int k = 1; k <= n; k++)
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] + (a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod) % mod;
    return c;
}

矩阵快速幂：

struct Mat {
    ll m[MAXN][MAXN];
}ans, a;//ans为结果矩阵，a为输入矩阵
Mat Mul(Mat a, Mat b, int n) {//计算矩阵a乘矩阵b，n为矩阵的大小
    Mat c;//临时矩阵c
    memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            for (int k = 1; k <= n; k++)
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] + (a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod) % mod;
    return c;
}
Mat _power(Mat a, int b, int n) {//计算a^b，n为矩阵的大小
    for (int i = 1; i <= n; i++)//构造单位矩阵
        ans[i][i] = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans = Mul(ans, a, n);
        a = Mul(a, a, n);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}